Lololo

Métodos Gráficos
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, representa el valor de x para la cual f(x) = 0, proporciona una aproxima- ción inicial de la raíz. Ejemplo 1: La aproximación grafica Use la aproximación grafica para determinar el coeficiente de rozamiento c necesariopara que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10s. Nota: la aceleración de la gravedad es 9.8 m/s 2. Solución: este problema puede resolverse determinando la raíz de la ecuación: �� �� = ���� 1 − �� −(�� ��
�� )��

− ��

Reemplazando los datos del problema en la ecuación:

�� �� =
O

��(68.1) 1 − �� −(�� ��

68.1)10

− 40�� �� =

667.38 1 − �� −0.146843 �� − 40 … (��) ��

Varios valores de c pueden ser sustituidos en el lado derecho de esta ecuación para calcular c 4 8 12 16 20 f(c) 34.115 17.653 6.067 -2.269 -8.401

Estos puntos se muestran en la figura 1. La curva resultante cruza el eje c entre 12 y 16. Un vistazo a la grafica proporciona una estimación de la raíz de 14.75. la validez de la estimaciónvisual se puede verificar sustituyendo su valor en la ecuación I para obtener

�� 14.75 =

667.38 1 − �� −0.146843 (14.75) − 40 = 0.059 14.75

El cual es cercano a cero. También puede revisarse por sustitución en la ecuación:

�� =

���� 1 − �� − �� ��

�� ��

Junto con el valor de los parámetros de este ejemplo para dar

�� =

9.8 68.1 14.75

1 − �� − 14.75

68.1 10

=40.059

Que es muy cercano a la velocidad de caída de 40 m/s

Fig. . 1

METODO DE BISECCION
Cuando se aplicaron las técnicas graficas en el ejemplo 1, se observo que f(x) cambio de signo en ambos lados de la raíz. E n general, si f(x) es real y continúa en el intervalo de xi a xu y f(x i) y f(x u) tienen signos opuestos, esto es: f(x i). f(x u)  0 Entonces hay al menos una raíz real entrexi y xu. Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característica al localizar un intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo (y por ende de la raíz), se logra con más exactitud al dividir el intervalo en una cantidad definida de sub-intervalos. Se rastrea cada uno de estos sub-intervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso serepite y la aproximación de la raíz mejora cada vez más a medida que los sub-intervalos se dividen en intervalos cada vez más pequeños. El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúael valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del sub-intervalo dentro del cual ocurre un cabio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. El siguiente seria el algoritmo a seguir en este método: Paso 1: elija los valores iníciales inferior Xi y superior X u de tal forma que la función cambie de signo sobre elintervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f(X i).f(X u)  0 Paso 2: la primera aproximación a la raíz X f se determina como: ���� = ���� + ���� 2

Paso 3: realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo cae la raíz: a) Si f(X i).f(X r)  0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo. Por lo tanto, tome X u = X r y continúe en el paso 2. b) Si f(Xi).f (Xr)  0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior. Por lo tanto, resuélvase X i = X r y continúese en el paso 2. Paso 4: si f(X i).f(X r) = 0, la raíz es igual a X r; termina el calculo

Ejemplo 2: use el método de bisección para resolver el mismo problema del método grafico del ejemplo 1 Solución: El primer paso del método de bisección es suponer dos valores...