Loquis

Variables aleatorias conjuntas

Variables aleatorias conjuntas discretas; función de probabilidad
conjunta: su definición y propiedades. Función de distribución
acumulativa: su definición y propiedades. Funciones marginales
de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad.
Variables aleatorias conjuntas continuas; función de probabilidad
conjunta: su definición y propiedades.Función de distribución
acumulativa: su definición y propiedades. Funciones marginales
de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad.
Valor esperado de una función de dos o más variables.
La curva de regresión.
Variables aleatorias independientes. Covarianza, varianza de una
suma de dos o más variables.
5.1 Variables aleatorias conjuntas
discretas y continuas: Función de
probabilidadconjunta, su definición y
propiedades. Funciones marginales de
probabilidad. Funciones condicionales de
probabilidad.
El estudio realizado hasta este momento
está restringido a espacios muestrales de
una sola dimensión en los que se registran
resultados de un experimento como valores
asumidos por una única variable aleatoria.
Sin embargo habrá situaciones donde sea
preferible
registrarlos
resultados
simultáneos de varias variables aleatorias.

Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009

Para el caso particular de dos variables
aleatorias, éstas se denominan variables
aleatorias conjuntas.
Definición. Si X y Y son dos variables
aleatorias, la distribución de probabilidad
de sus ocurrencias simultáneas puede
representarse por una función F(x,y) para
cualquier parde valores (x,y) dentro del
rango de las variables aleatorias; a esto se le
denomina distribución de probabilidad
conjunta.

M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
72

Propiedades caso continuo.

a) Fxy ( X , Y ) ≥ 0

b

P ( a < x < b, Y = y ) = ∫

∀X , Y

a

f ( x, y )
dx
h( y )

∞ ∞

b)

∫ ∫ Fxy ( X , Y )d x d y

−∞ −∞

c) P[( X , Y )ΕA] = ∫

A

∫ Fxy ( X , Y )d xd y

Propiedades caso discreto.

Ejemplo. Se seleccionan al azar 2 repuestos
para una pluma de una caja que contiene:

3 repuestos azules
2 repuestos rojos
3 repuestos verdes

a ) Pxy ( X , Y ) ≥ 0
b)∑∀x ∑∀y Pxy (X , Y ) = 1

Si X representa el número de repuestos
azules seleccionados y Y el de rojos.
Determine: la función de probabilidad
conjunta.

c ) P ( X = x , Y = y ) = P (x, y )
para cualquier región en el plano A
P[( X , Y )ΕA] = ∑ ∑ P( X , Y )
A

Probabilidades marginales. Se les llama
marginales cuando a partir de una función
conjunta se margina a una de las variables
aleatorias. Es el equivalente a la
probabilidad total de las funciones de una
sola variable.

y

x
0
0

3/28

1

2

9/28 3/28

g ( X ) = ∑ Pxy ( x, y)

g(X) = ∫ Pxy (x, y)dy

1

6/28

6/28

-

h(Y ) = ∑ Pxy ( x, y)

h(Y ) = ∫ Pxy ( x, y)dx

2

1/28

-

-

∀Y

∀X

Por otra parte, si se desea encontrar la
probabilidad de que la variable aleatoria
continua X esté entre a y b cuando se sabe
que la variable aleatoria Y=y se obtiene:
P( AB)
P( B / A) =
P( A)

P( X = x, Y = y) f ( X , Y )
=
P( X = x)
g ( x)
P( X = x, Y = y) f ( X, Y )
P( X = x / Y = y ) =
=
P(Y = y)
h( y)

P(Y = y / X = x) =

Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009

3
C (3,2)
=
C (8,2) 28
6
C (3,1)C (2,1)
=
P (0,1) =
28
C (8,2)
1
C (2,2)
=
P (0,2) =
C (8,2) 28
9
C (3,1)C (3,1)
=
P (1,0) =
28
C (8,2)
6
C (3,1)C (2,1)
=
P (1,1) =
28
C (8,2)
3
C (3,2)
=
P (2,0) =
C (8,2) 28
P (0,0) =

Probabilidad condicional.g(x) > 0
h(y)> 0

M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
73

Para el ejercicio anterior determinar las
probabilidades marginales de X y Y.

a) Determinar si se trata de una
distribución de probabilidad
conjunta.

2

g ( x) = ∑ Pxy ( x, y ) = ∑ Pxy ( x, y )
∀y

y =0

2

g ( x = 0) = ∑ Pxy (0, yi) =
y =0

3 + 6 + 1 10
=
28
28

9 + 6 15
=
28
28

1

g ( x = 1) = ∑...