M3 TP1 2013

Trabajo Práctico 1: Campos Escalares
Matemática III
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1. Dados los siguientes campos escalares, hallar el dominio, analítica y gráficamente

25  x 2  y 2

a) F ( x, y ) 

b)

x y

y2
x
c) F ( x, y )  ln(

 1)
4 25
2

e) F ( x, y ) 

x  2y  4
2

y
x

1
4 16

1
x2  y

h) F ( x, y )  3xy 

5
x y4k) F ( x, y) 

d) F ( x, y)  ln( x  5 y)

f) F ( x, y ) 

2

g) F ( x, y)  5xy  3 y
i) F ( x, y ) 

F ( x, y)  9  x 2  y 2

1
x 1

j) F ( x, y)  ln( 2 x 

9  (2 x  3 y )

2

y). 1  x 2  y 2

l) F ( x, y)  ln(16  x

2

 4y2 )

2. Para los niveles z: -2, -1, 0, 1, 2, 3 representar, cuando sea posibles, las curvas se nivel de las
siguientes superficies.

Z  x2  y2 1
c) Z  2xy
a)

e)

Z

x2  2
y 1

Zx y
1
i) Z 
x y
g)

3. Dada la siguiente función:

Z  36  x 2  y 2
d) Z  1
b)

f)

Z

y 1
x2 1

h)

Z  1 x  y

j)

Z  x2  y2

F : A   2   / F ( x, y)  6 1  x 2  y 2 

a) Determinar gráfica y analíticamente su Dominio.
b) ¿A qué curva de nivel pertenece el punto (0; 0) ? Justificar.

x  2y 1
2  x4

 e x

1

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Matemática III
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4. Calcular, por definición, las derivadas parciales de los campos escalares en los puntos que se
indican. Interpretar geométricamente los resultados obtenidos.

F ( x, y)  2 x 2 y  5xy

P0  (2;  3)

F ( x, y)  3x 2  2 xy  y 2
1
c) F ( x, y ) 
x y

P0  (3;  2)

a)
b)

P0  (1; 3)5. Calcular, aplicando las reglas de derivación, las derivadas parciales primeras de los siguientes
campos escalares.
a) F ( x, y)  x

2

y  sen x  cos(3 y)

c) F ( x, y) 

ln(3x  y)  e x  y 3

e) F ( x, y)  4 y

2

2

 4 x. x 2  y 2

y2
 2 xy
x
xy
1
d) F ( x, y, z )  e z  sen( xz )
2
2 xy  y 2
x .e
f) F ( x, y ) 
2y  x2
b) F ( x, y ) 

y

g) F ( x, y, z ) 

3. x .e x
h) F ( x,y ) 
3y 2  2x 3

5
x 2  y 2 z 2

i) F ( x, y, z )  4.x

y

z  z ln(

x2
)3
y

j) F ( x, y ) 

3
( x  y) 2
 (3 y  1) 2 x  4
x y

6. Hallar el vector gradiente de los siguientes campos escalares en los puntos indicados.

P0  ( ; 1)

a)

F ( x, y)  x y  sen( xy )

b)

F ( x, y)   x  y . ln( x  y  4)  ln 8

c)

2

F ( x, y, z ) 

2

2

x .z
 z 3 xy
y

P0  (1; 2)

P0  (1; 1;0)

7. Para los campos escalares que se presentan a continuación, calcular las derivadas parciales
segundas y verificar el Teorema de Schwarz.
a)

F ( x, y)  x 3 y 2  x y

b)

F ( x, y)  xe y  x 2 sen ( xy )

c)

F ( x, y)  cos( x 2  y)  sen( y 2 x)

d) F ( x, y)  (2 x  1)

y 3

2

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8. Para los campos escalares que se presentan a continuación, obtener el Incremento y el
Diferencial. Una vez obtenida la expresión, identificar el Diferencial Total como la parte
lineal del incremento.
a)

F ( x, y)  x 2  3xy

P0  (1; 2)

b)

F ( x, y)  3x 2  xy  2 y 2

P0  ( x0 ; y0 )

9. Para los siguientes campos escalares calcular el Diferencial
a)

F( x, y)  x 2  y 2 sen( x 3 y)

c)

F ( x, y)  ysen( xy )  x
2

1
y

dF  dF ( x, y, x, y)

x
 ln( xy )
y2

b)

F ( x, y) 

d)

F ( x, y)  y  ln x  xe y

10. Aplicando Diferenciales, calcular aproximadamente:
a)

b)

(1, 02) 3,03

(3,3) 2  2.(2,1) 3

11. a) Determinar la ecuación del Plano Tangente a la gráfica de los siguientes campos escalares
en el punto ( x0 ; y 0 ; z 0 )
a)

F (x, y)  x 3  y 3  3xy

G( x, y)  2 y.x
3x
c) H ( x, y ) 
x2  y2
b)

y

( x0 ; y0 )  (1; 1)
( x0 ; y0 )  (1;  1)
( x0 ; y0 )  (3; 4)

b) Utilizar las ecuaciones obtenidas en a) para hallar un valor aproximado de

F (1,01; 0,98)

G(1,01;  0,98) , H (2,9; 4,01)

Z  4 x  y  4 es la ecuación del plano tangente a la gráfica de un campo escalar F en
el punto P  (1; 2; F (1;2)) ....