Magnitud de vectores en Rn

El concepto de ∥ ∥ (norma) nos da una noci ́on de distancia, el tener una nocio ́n de distancia en R o ma ́s generalmente en Rn, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia.Consideremos la noci ́on comu ́n de distancia entre dos puntos en R3. Si x ̄ = (x1,x2,x3) y ̄ = (y1,y2,y3)
∥x ̄−y ̄∥=􏱖(x1 −y1)2 +(x2 −y2)2 +(x3 −y3)2 Esta distancia la denominamos m ́etrica euclidiana y lageneralizamos en Rn en la siguiente
definici ́on.
Definici ́on: Sean x ̄ = (x1, . . . , xn) y y ̄ = (y1, . . . , yn) elementos cualesquiera de Rn definimos la distancia euclidiana entre ellos comod(x ̄,y ̄)=∥x ̄−y ̄∥=􏱖(x1 −y1)2 +...+(xn −yn)2 La funcio ́n d : Rn × Rn → R se denomina distancia o m ́etrica euclidiana.
Proposicio ́n: Para cualequiera vectores x ̄, y ̄, z ̄εRn se tiene:
i. d(x̄,y ̄)≥0 ii. d(x ̄,y ̄)=d(y ̄,x ̄)
iii. d(x ̄,y ̄)≤d(x ̄,z ̄)+d(z ̄,y ̄) iv. d(x ̄,y ̄)=0 ⇒ x ̄=y ̄
Demostraci ́on : 1. Comod(x,y)=∥x ̄−y ̄∥≥0entoncesd(x ̄,y ̄)≥0tambiensid(x,y)=0 ⇒
∥ x ̄ − y ̄ ∥ =0 ⇒ x ̄ = y ̄ 2. d(x ̄,y ̄)=∥x ̄−y ̄∥=∥x ̄−y ̄∥=∥y ̄−x ̄∥=d(y ̄,x ̄)
1
3. d(x ̄,y ̄)=∥x ̄−y ̄∥=∥x ̄−z ̄+z ̄−y ̄∥≤∥x ̄−z ̄∥+∥z ̄−y ̄∥=d(x ̄,z ̄)+d(z ̄,y ̄) 
M ́etrica discreta.- Demostrar que lametrica definida por d(a, b) = axiomas de m ́etrica
Demostraci ́on :
0a=b  1 a ≠ b
satisface los
1. Sean a,bεRn entonces d(a,b) = 1 o ́ d(a,b) = 0 ∴ d(a,b) ≥ 0 2. Seana,bεRn Sia ̸̄= ̄b d(a ̄,̄b)=1ysi ̄b̸=a ̄ d(b,a)=1∴ d(a,b)=1=
d(b, a) Ahora bien si a = b entonces d(a,b) = 0 = d(b,a)
∗
* Si a = b entonces b = a por lo tanto d(b, a) = 0 3. Seana ̄, ̄b,c ̄εRn a ̸̄= ̄b≠ c ̄
d(a ̄, ̄b) = 1,d( ̄b, c ̄) = 1 y
d(a ̄, ̄b) = 1 ∴ d(a,c)=1≤1+1=d(a,b)+d(b,c)
M ́etrica C [a, b].- Sea C [a, b] el conjunto de las funciones reales contunias en el intervalo cerrado [a, b]. Sean f, g ε C[a, b]definimos
d(f,g)= m ́ax{|f(x)−g(x)|} x ε [a,b]
demostrar que d es una m ́etrica. Demostraci ́on :
1. Como|f(x)−g(x)|≥0paratodoxε[a,b]entoncesm ́ax{|f(x)−g(x)|}≥0 por lo tanto d(f, g) ≥ 0
2....