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Carrera de Ingeniería Informática
Álgebra de Estructuras

Sea el conjunto M de las matrices 2x2 invertibles de números reales:

Información Básica para el desarrollo del Trabajo.

∀ abcd∈RLa determinante de una matriz 2x2

detabcd=ad-cb

La inversa de una matriz 2x2

iabcd=abcd-1=dad-cb-bad-cb-cad-cbaad-cb ad-cb≠0

1) Pruebe que M es un grupo con lamultiplicación de matrices como operador binario y la matriz identidad como elemento identidad. Obviamente, el inverso de una matriz es la matriz inversa.

M;×;i ;1001

∀ abcd, xwyz ∈M abcd×xwyz ∈M ?Sabemos que Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero, entonces, podemos deducir que: ad-cb ≠ 0 ∧ xz-yw ≠ 0
abcd×xwyz=ax+byaw+bzcx+dycw+dz ∈M

Paraque la matriz producto de la multiplicación pertenezca a M su determinante debe ser distinto de cero, entonces,
(ax+by)(cw+dz) – (cx+dy)(aw+bz) ≠ 0.

(ax+by)(cw+dz) – (cx+dy)(aw+bz)
= axcw +axdz+ bycw + bydz - axcw - cxbz - dyaw - bydz)
= axdz + bycw - cxbz - dyaw = xz ad - cb- yw ad - cb
= (xz - yw) (ad - cb) ≠ 0.

Por otra parte, como la multiplicación y suma de números realessiempre darán como resultado un número real, entonces, en la multiplicación de dos matrices cualesquiera que pertenezcan a M se obtendrá como producto otra matriz que pertenece a M.

i) ∀ abcd,efgh,xwyz ∈M ASOCIATIVIDAD

abcd×efgh×xwyz=abcd×efgh×xwyz

Por propiedades de matrices, la multiplicación de matrices es asociativa.ii) ∀ abcd ∈M
abcd×abcd-1= abcd-1×abcd= 1001

Por definición, el producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.

iii) ∀ abcd ∈M
abcd×1001=1001×abcd=abcd1a+0b0a+1b1c+0d0c+1d= abcd

2) Pruebe que el subconjunto S ⊂ M de las matrices con determinante 1 es un subgrupo de M. Entonces (S; × ;i ;1001) S:={ abcd ∈M| ad-cb=1}
i) ∀ abcd, xwyz ∈S ?...