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Factor integrante
Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuacióndiferemcial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial


(1.3)


es exacta, pues




Sin embargo, al multiplicarla por el factor , laecuación /refedo2:eq1 se transforma en


(1.4)


la cual no es exacta.
Observación: podemos invertir la situación, al multiplicar la ecuación 1.4 por el factor obtenemos la ecuacióndiferencial 1.3, la cual es exacta. En tales circunstancias, es razonable preguntarse: ¿ hasta qué punto se puede convertir en exacta una ecuación diferencial que no lo es ?. En otras palabras, si la ecuaciónno es exacta, ¿ bajo qué condiciones se puede encontrar una función con la propiedad de que




sea exacta ?. Cualquier función que actúe de este modo se llama factor integrante. Así,es un factor integrante de la ecuación 1.4.
 
 
 Definición [Factor integrante]
 
Si la ecuación diferencial


(1.5)


no es exacta, pero al multiplicarla por el factor se convierte enexacta, decimos que es un factor integrante de la ecuación diferencial.
 
 
Ejemplo:
La expresión es un factor integrante de la ecuación




pues al multiplicarla por obtenemos la ecuaciónLa cual es exacta.




El lector puede comprobar que la solución de ésta ecuación es .
De inmediato, la pregunta que surge es ¿ Cómo se encuentra un factor integrante ?, vamos atratar de explorar un poco esta cuestióón. Si es un factor integrante de la ecuacióón 1.5 entonces por el criterio de exactitud tenemos que




Aplicando la regla del producto, esto se reduce a laecuación


(1.6)


Pero despejar de la ecuación 1.6, es por lo general más difícil que resolver la ecuación original 1.5. Sin embargo, existen algunas excepciones importantes que podemos...