Manual de ordinarias

Introducci´n a las Ecuaciones o Diferenciales Ordinarias

Ing. William E. Londo˜o Terwes n

´ Indice general
1. Definiciones B´sicas e Introducci´n a o 1.1. Definiciones B´sicas e Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . a o 2. Ecuaciones Lineales de Primer Orden 2.1. Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaciones homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4. Factores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 19 21 31 41 51 61 71 83 85 95 111

2.6. Ecuaci´n de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3. Ecuaciones Diferenciales de OrdenSuperior 3.1. Dependencia e Independencia Lineal y el Wronskiano . . . . . . 3.2. Ecuaciones Diferenciales Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Ecuaciones Lineales homog´neas con Coeficientes Conse tantes de Cualquier Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3. Ecuaciones Lineales no Homog´neas con Coeficientes Constantes 117 e 3.4. Variaci´n de Par´metros . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . o a 4. Transformada de Laplace 4.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Transformadas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Funciones Escalonadas y Discontinuidades . . . . . . . . . . . . 5. Ap´ndice e 5.1. Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 145 147 167 179 193 194 226

5.2. FraccionesParciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Cap´ ıtulo 1

Definiciones B´sicas e a Introducci´n o

1

2 Definiciones B´sicas e Introducci´n a o

Ing. William E. Londo˜o Terwes n

1.1.

Definiciones B´sicas e Introducci´n a o

Maestro es el que conjuga la realidad del presente con el sue˜o de lograr n un mundo superior en el futuro.Objetivo
Identificar y distinguir cada uno de los conceptos dados. Tales como orden, grado y linealidad de una ecuaci´n diferencial o

Tiempo Estimado : 1 hora

4 Definiciones B´sicas e Introducci´n a o

Definiciones B´sicas a
Definici´n 1.1.1 Una ecuaci´n diferencial es aquella ecuaci´n que contiene o o o las derivadas de una o mas variables dependientes respecto a una o mas variablesindependientes. Ejemplo 1.1.1 dy = 2xy dx

∂ ∂2u + u = z 2 + t3 ∂z 2 ∂t

y + 2y − 3y = 0

Definici´n 1.1.2 El orden de una ecuaci´n diferencial es la derivada mas alta o o contenida en la ecuaci´n diferencial. o Ejemplo 1.1.2 La ecuaci´n diferencial o d3 y d2 y dy +3 2 +5 + 4y = x3 dx3 dx dx Es una ecuaci´n de tercer orden, mientras que la ecuaci´n o o dy + 2xy = 0 dx Es una ecuaci´n de primerorden o Ing. William E. Londo˜o Terwes n

Definiciones B´sicas e Introducci´n 5 a o Definici´n 1.1.3 El grado de una ecuaci´n diferencial es la potencia a la que o o esta elevada la derivada mas alta , siempre y cuando la ecuaci´n diferencial o este dada en la forma polinomial. Ejemplo 1.1.3 La ecuaci´n diferencial o d3 y dx3
4

+3

d2 y dx2

3

+3

dy + 2y = 0 dx

Es una ecuaci´ndiferencial de grado cuatro. o Definici´n 1.1.4 Una ecuaci´n diferencial ordinaria, es aquella ecuaci´n que o o o contiene derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes, con respecto a una sola variable independiente. Ejemplo 1.1.4 Las ecuaciones diferenciales dy d2 y +3 − 3y = x2 2 dx dx

dz + 3t = −z dt Son ecuaciones diferenciales ordinarias donde las variables dependientes son z,y ylas variables independientes son x,t. Definici´n 1.1.5 Una ecuaci´n diferencial parcial, es aquella ecuaci´n que o o o contiene derivadas parciales, de una o mas variables dependientes, con respecto a dos o mas variables independientes. Ejemplo 1.1.5 Las ecuaciones diferenciales ∂3u ∂2u ∂ ∂ +3 2 +4 z− s=0 ∂y 3 ∂y ∂x ∂t Ing. William E. Londo˜o Terwes n

6 Definiciones B´sicas e Introducci´n a o...