maquinas

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Convolución
Ì
Ì
Ì
Ì

17/11/99

Concepto y Definición de Convolución
Propiedades
Correlación y Autocorrelación
Convolución Discreta

Capítulo 2:Convolución 1

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Concepto y Definición de Convolución
Ì

Ì

Mediante la convolución calcularemos la respuesta de un
sistema (y(t)) a una entradaarbitraria (x(t)).
Dos condiciones para realizar la convolución:
x
x

Ì

Sistema LTI.
La respuesta al impulso del sistema es h(t).

Basándonos en el principio de superposición y en que el
sistemaes invariante en el tiempo:
Si L{δ( t )} = h( t ) → L{K ⋅ δ( t − t 0 )} = K ⋅ h( t − t 0 )

Ì

Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un
tren infinito de impulsos. Para ello,dividimos x(t) en tiras
rectangulares de anchura ts y altura x(k ts). Cada tira la
reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el área de la
tira : t s ⋅ x ( kt s ) ⋅ δ (t − kt s )

17/11/99Capítulo 2: Convolución 2

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Concepto y Definición de Convolución
x(t)

t
ts
k =∞

Ì
Ì

La función xs(t) que aproxima x(t) es : xs ( t ) = ∑ ts x(kts ) ⋅ δ ( t − kts )
k = −∞
x(t) es el límite cuando ts→ dλ→0, k·ts→λ :
x( t ) = lim

ts → 0

k =∞

∑ t x( kt ) ⋅ δ( t − kt
s

s

s

)=

k = −∞

∞

∫ x ( λ ) ⋅ δ ( t − λ ) ⋅ dλ−∞

Y aplicando el principio de superposición:
∞
∞
 ∞
y( t ) = L{x (t )} = L  ∫ x (λ ) ⋅ δ(t − λ ) ⋅ dλ  = ∫ x( λ ) ⋅ L{δ( t − λ )} ⋅ dλ = ∫ x( λ ) ⋅ h( t − λ ) ⋅ dλ = x (t )∗ h(t )
−∞ −∞
−∞

17/11/99

Capítulo 2: Convolución 3

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Concepto y Definición de Convolución
Ì

Ì

Mediante convolución hemos sido capaces de determinar larespuesta del sistema a una señal de entrada a partir de la
respuesta del sistema a una entrada impulso.
La función h(t) se define para t≥0 y decrece cuando t→∞,
para la mayoría de los sistemas...