Marco L

CONJUNTOS

Definición 1: Conjunto es cualquier colección de objetos, donde los objetos se denominan elementos.
Generalmente los elementos de un conjunto se denotan por letras minúsculas a, b, c, … y los conjuntos con letras mayúsculas A, B, C, …

Notación: Si x es un elemento de A se escribe [pic] y se lee “x pertenece a A”.
La negación de [pic] se escribe [pic] y se lee “x no pertenecea A”

Definición 2: Un conjunto puede ser definido de dos formas:
a) Por Extensión: Nombrando los elementos
b) Por comprensión: sus elementos están caracterizados por una propiedad

Ejemplo de conjuntos numéricos

IN = {1, 2, 3, . . .} Conjunto de los números naturales
Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Conjunto de los números enteros
IR = {x / x es unnúmero decimal} Conjunto de los números reales
Q = { [pic]} Conjunto de los números racionales
Q* ={x / x [pic]IR [pic] x[pic]Q} Conjunto de los números irracionales
C={x, y [pic]IR, z=x+iy} Conjunto de los números complejos

[pic]

Observación: Los conjuntos IN y Z están definidos por extensión, Q, IR y Q* por comprensión.Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no tiene elementos y se denota por [pic], {}

Conjunto universo: Es el conjunto que contiene todos los elementos a los cuales pudiéramos hacer referencia en un momento dado, estos pueden ser infinitos o finitos y se denota por U.

Definición 3: Dos conjuntos A y B son iguales y se escribe A=B si tienen los mismos elementos sin importar el orden de estos.De esta definición resulta que los conjuntos {a, b, c, d}, {b, a, d, c}, {a, a, b, c, c, d} son iguales, es decir no interesa el orden ni la repetición de los elementos.

Definición 4: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Decimos que A es subconjunto de B si cada elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B, es decir, A está contenido en B.
Se escribe: [pic]

Ejemplos:

1)IN[pic]Z
2) IN[pic]IR

PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS
Consideremos A, B y C conjuntos cualesquiera, se tiene:

1) [pic]
2) [pic]
3) Si [pic] y [pic] entonces A=B
4) Si [pic] y [pic] entonces [pic]

Definición 5: El conjunto de partes [pic], de un conjunto cualquiera A es el conjunto de todos los subconjuntos de A.
El número de subconjuntos que pueden formarse con un conjuntoes[pic] , donde n es el número de elementos del conjunto A.

Notación: [pic]
Ejemplo: Si A={0, -1, 1} entonces P(A)={ [pic], {0}, {-1}, {1}, {0,-1}, {0,1}, {-1,1}, A}.

Observación
El conjunto de partes P(A) nunca es vacío, pues [pic] y A son elementos de P(A) ya que [pic] y [pic].


OPERACIONES CON CONJUNTOS

1) Sean A y B dos conjuntos, La UNIÓN de A y B es el conjunto de todos loselementos que pertenecen a A o B o a ambos y se representa por:

[pic]
Simbólicamente si [pic]

A continuación, se presentan tres formas gráficas distintas de cómo se pueden relacionar los conjuntos, lo achurado representa la unión de ellos.

[pic]

PROPOSICIÓN: [pic]



2) Sean A y B dos conjuntos, La INTERSECCIÓN de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y B y serepresenta por:

[pic]
Simbólicamente si [pic]

Gráficamente, lo achurado representa en cada caso la intersección de A y B

[pic]


PROPOSICIÓN: [pic]

4) Sean A[pic]U, con U conjunto Universo, llamaremos COMPLEMENTO de A respecto a U al conjunto: [pic]

[pic]

Propiedades
[pic] [pic]

5) Dado dos conjuntos A y B llamaremos DIFERENCIA de A y B, al conjunto:[pic].

Gráficamente:
[pic]

6) Dados los conjuntos A y B llamaremos DIFERENCIA SIMÉTRICA de A y B al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos y se representa por:
[pic]

Ejemplo: Sean A={1,2,3,4} y B={3,4,5,6} entonces A[pic]B= {1 ,2, 5, 6}

[pic]

Ejercicio 1: Considere U={a, b,...