mario

Solucionario

12

Representación de funciones
ACTIVIDADES INICIALES

12.I.

Factorizando previamente las expresiones, resuelve las siguientes ecuaciones:
c) x 6 − 4 x 4 − x 2 + 4 = 0

a) 6 x 3 − 7 x 2 − 14 x + 15 = 0
b)

7
x2 + 1
x
+ 2
= x+
6
x
x −1

d) x + x + 2 + x + 3 = 0

x = 1

a) 6 x 3 − 7 x 2 − 14 x + 15 = 0  ( x − 1)(6 x 2 − x − 15) = 0   2
3
5
6 x −x − 15 = 0  x = − 2 , x = 3
x2 + 1
x
7
+ 2
= x +  6 x 2 + 1 x 2 − 1 + 6 x 2 = 6 x 2 x 2 − 1 + 7 x ( x 2 − 1) 
x
6
x −1
 6 x 4 − 6 + 6 x 2 = 6 x 4 − 6 x 2 + 7 x 3 − 7 x  −7 x 3 + 12 x 2 + 7 x − 6 = 0 
x = 2

 ( x − 2)(−7x 2 − 2x + 3) = 0  
22 1
22 1
− , x=−
−
x =

7
7
7
7

b)

(

)(

)

(

)

c) x 6 − 4 x 4 − x 2 + 4 = 0  ( x + 1)( x − 1)( x + 2)( x− 2)( x 2 + 1) = 0  x = −1, x = 1, x = −2, x = 2

 x = −5
si x < −3
− x − 5 = 0 si x < −3


x + x + 2 + x + 3 = 0   x + 1 = 0 si − 3 ≤ x < −2   x = −1
si − 3 ≤ x < −2
d)
3 x + 5 = 0 si x ≥ −2

−
5

x =
= 0 si x ≥ −2
3


Las soluciones son x = –5 y x =

−5
. x = –1 no es solución ya que está fuera del intervalo [–3, –2).
3

12.II. Resuelve las siguientesinecuaciones:
5x − 2
≥0
a) x 3 − 7 x + 6 ≤ 0
b)
2x + 1

c)

x2 − 1
≤0
x +2

d) 2 x − 4 − x ≥ 0

a) x 3 − 7 x + 6 ≤ 0  x 3 − 7 x + 6 = 0  x = −3, x = 1, x = 2
(1, 2)  x = 1,5  3,375 − 10,5 + 6 ≤ 0 . Sí
(– ∞ , –3)  x = −4  −64 − 28 + 6 ≤ 0 . Sí
(–3, 1)  x = 0  6 > 0 . No
(2, + ∞ )  x = 3  27 − 21 + 6 > 0 . No
Por tanto, la solución es: (– ∞ , –3] ∪ [1, 2].
2

5x − 2= 0  x = 5
5x − 2
≥0
b)
2x + 1
2x + 1 = 0  x = −1 , no pertenece a la solución.

2

−1 
−7
−2

 1 2
≥ 0 . Sí
< 0 . No
− 2, 5  x = 0 
 −∞, 2   x = −1 
1
−1




−1   2


Por tanto, la solución es:  −∞,  ∪  , + ∞  .
2
5

 

x2 − 1
 x 2 − 1 = 0  x = 1, x = −1
≤ 0
c)
x+2
 x + 2 = 0  x = −2, no pertenece a la solución.

32

 5 , + ∞   x = 1  3 ≥ 0 . Sí



−1
≤ 0 . Sí
2
3
[1, + ∞ )  x = 2  > 0 . No
4

8
≤ 0 . Sí
−1
1,25
(–2, –1]  x = −1,5 
> 0 . No
0,5

(– ∞ , –2  x = −3 

[–1, 1]  x = 0 

Por tanto, la solución es: ( −∞, − 2 ) ∪ [–1, 1].
−2x + 4 − x si x < 2
4 − 3x ≥ 0
d) 2x − 4 − x = 

2x − 4 − x si x ≥ 2
x − 4 ≥ 0

124

4

si x < 2 x ≤
4


3 Solución:  −∞,  ∪ [ 4, + ∞ )
si x ≥ 2 
3

x ≥ 4
Solucionario

EJERCICIOS PROPUESTOS
12.1. Indica los puntos de discontinuidad, los puntos singulares y los puntos críticos para las siguientes
funciones:
a) f ( x ) =

x 3 − 3x 2 + 5
2

c) f ( x ) = x +

b) f ( x ) =

1
x3 + x2 + 4

d) f ( x ) = x + 1 + x − 3

x+

1
2

e) f ( x ) = x + senx

f) f ( x ) =

xx2 − 4

x2 + 4
x2 − 4

g) f ( x ) =

h) f(x) = e|x|

a) D(f) = R. No hay puntos de discontinuidad.
f '( x ) =

3x 2 − 6x
= 0  x = 0, x = 2 son los puntos singulares y críticos.
2

b) x 3 + x 2 + 4 = ( x + 2)( x 2 − x + 2) = 0  x = −2 es un punto de discontinuidad.
f '( x ) =

− x (3x + 2)

(x

3

2

+x +4

)

2

=0 x =0 ,x =

−2
son los puntos singulares ycríticos.
3

1
 −1

c) D(f) =  , + ∞  .En x = −
la función es continua solo por la derecha : f ' ( x ) = 1 +
2
2



No hay puntos singulares y no hay puntos críticos, ya que en x = −

1
2 x+

1
2

≠0.

1
la función no es continua.
2

d) D(f) = R. No hay puntos de discontinuidad.
Los puntos x = −1 y x = 3 son críticos pero no singulares (en ellos no existe laprimera derivada).
e) D(f) = R. No hay puntos de discontinuidad.
f'(x) = 1 + cosx = 0  x = (2k + 1)π , con k ∈ Z son puntos singulares y críticos.

f) D(f) = (–2, 2) ∪ (2, + ∞ ). Es discontinua para x = –2 y para x = 2.
f’(x) =

− x2 − 4

f’(x) = 0 si x = 2 ó x = –2, pero no son puntos singulares porque no pertenecen al
2 x x2 − 4 x2 − 4
dominio de definición, y no son críticos porque en...