MAT DISCRETAS UNIDAD II

UNIDAD II. LOGICA PROPOCISIONAL
2.1 Introducción al cálculo de preposiciones

En muchos algoritmos y demostraciones se usan expresiones lógicas como:
“SI p ENTONCES” o “si p1 Y p2, ENTONCES q1 O q2”
Por consiguiente, es necesario conocer los casos en que estas expresiones son VERDADERAS o FALSAS; es decir,
conocer el “valor de verdad” de tales expresiones. Estos temas se analizan en estecapítulo.
También se investiga el valor de verdad de declaraciones cuantificadas, que son proposiciones en las que se usan
los cuantificadores lógicos “para todo” y “existe”.
Una proposición (o declaración) es una afirmación declarativa que es falsa o verdadera, pero no ambas. Considere, por
ejemplo, las seis oraciones siguientes:
i) El hielo flota en el agua.
ii) China está en Europa.
iii) 2 + 2 = 4.
iv)2 + 2 = 5.
v) ¿A dónde vas?
vi) Haz tu tarea.
Las cuatro primeras son proposiciones; las dos últimas, no. También, i) y iii) son verdaderas, pero ii) y iv) son falsas.
Proposiciones compuestas
Muchas proposiciones son compuestas; es decir, están compuestas de subpreposiciones y varios conectivos que se
analizarán dentro de poco. Estas proposiciones se denominan proposiciones compuestas. Se diceque una proposición
esprimitiva si no es posible separarla en proposiciones más simples; es decir, si no es compuesta.
Por ejemplo, las proposiciones anteriores i) a iv) son primitivas. Por otra parte, las dos siguientes proposiciones son
compuestas:
“Las rosas son rojas y las violetas son azules” y “Juan es inteligente o estudia cada noche”

2.2 Conceptos de argumentos y tipos de proposicionesOPERACIONES LÓGICAS BÁSICAS
En esta sección se analizan las tres operaciones lógicas básicas de conjunción, disyunción y negación que corresponden,
respectivamente, a las palabras “y”, “o” y “no” en lenguaje coloquial.
Conjunción, p ∧q
Dos proposiciones arbitrarias se combinan mediante la palabra “y” para formar una proposición compuesta que se
denominaconjunción de las proposiciones originales. Seescribe así:
p ∧q
que se lee “p y q”, denota la conjunción de p y q. Puesto que p ∧q es una proposición, tiene un valor de verdad, que
depende sólo de los valores de verdad de p y q. En específico:
Definición 4.1: Si p y q son verdaderas, entonces p ∧q es verdadera; en otro caso, p ∧q es falsa.
El valor de verdad de p ∧q tiene una forma equivalente de definición mediante la tabla 4-1a). Ahí, laprimera línea
es una forma abreviada de decir que si p es verdadera y q es verdadera, entonces p ∧q es verdadera. La segunda
línea establece que si p es verdadera y q es falsa, entonces p ∧q es falsa. Y así en las sucesivas. Observe que hay cuatro líneas correspondientes a las cuatro combinaciones posibles de V y F para




ARGUMENTOS
Un argumento es una aseveración de que un conjunto dado deproposiciones P1, P2, . . . , Pn, que se denominan premisas,
conduce (tiene una consecuencia) a otra proposición Q, que se denomina conclusión. Un argumento se denota por
P1, P2, . . . , Pn, _ Q
2.3 Conexiones Lógicas y Letárgicas
Al realizar razonamientos empleamos sentencias que están conectadas entre sí por conectivas lingüísticas. La lógica proposicional se ocupa del estudio  de las conectivaslingüísticas entre proposiciones. Una proposición es una sentencia que puede ser verdadera, circunstancia que indicaremos asociándola el valor de verdad V , o falsa, en cuyo caso le asociaremos el valor de falso F.
Las conectivas lingüísticas permiten construir proposiciones compuestas a partir de otras más simples. Así, si los símbolos p y q representan proposiciones genéricas, las conectivaslingüísticas más empleadas son las que aparecen en la siguiente tabla:

Tabla de Verdad de Negación

Tabla de Verdad de Conjunción
p
q
p ^ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

Tabla de Verdad de Disyunción
p
q
p v q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F


Tabla de Verdad de Condicional
p
q
p => q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Tabla de Verdad de Bicondicional
p
q
p <=> q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V




2.4 Cálculo de predicados
Un...