Mat1cap1

Apuntes de Matemáticas 1

ADE y Economía
Universitat d’Alacant

Departament de Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica

Capítulo 1

FUNCIONES de una VARIABLE.
CONTINUIDAD
1. Conceptos básicos: Dominio, rango y gráfica de una función
2. Funciones elementales
3. Función inversa
4. Definición de límite. Límites laterales, infinitos y en el infinito
5. Propiedades de los límites
6. Cálculo delímites
7. Continuidad
8. Tipos de discontinuidad
9. Propiedades de las funciones continuas
10. Teoremas del valor intermedio, Bolzano y Weierstrass

1. Conceptos básicos: Dominio, rango y gráfica de una función
1.1. Conceptos previos
Se suponen conocidos los distintos tipos de números reales y las operaciones básicas entre números. Un breve esquema es el siguiente:
La recta real: tipos de números
•Naturales (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
• Enteros (Z): . . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
a
• Racionales (Q): , a, b ∈ Z, b = 0 (quedan huecos en la recta: los irracionales)
b
• Irracionales (I): 2 ≈ 1 41, π ≈ 3 14, e ≈ 2 72, . . .
• Reales (R): racionales unión irracionales ≡ toda la recta (sin huecos)
Operaciones con números reales: suma, resta, multiplicación, el inverso (¿cuándoexiste?), división (¿cuándo se pueden dividir dos números?), potencias (naturales, enteras, racionales), . . .
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CAPÍTULO 1: FUNCIONES de una VARIABLE. CONTINUIDAD

El concepto de infinito: +∞, −∞ (no son números reales), como límites de la recta real.
Unos subconjuntos de números reales que aparecerán a menudo son los intervalos. Éstos pueden
ser abiertos, cerrados, o ni abiertos ni cerrados.También pueden ser acotados o no acotados.
Intervalos de números reales:
• Intervalo abierto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
• Intervalo cerrado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
• Intervalo no abierto, no cerrado: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b};

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

• Intervalo no acotado:
(a, +∞) = {x ∈ R : a < x < +∞}
(nótese que la última desigualdad no es necesaria, ya que todo número real lacumple);
éste es un intervalo abierto
[a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x < +∞} = {x ∈ R : a ≤ x}; éste intervalo es cerrado
(−∞, b) = {x ∈ R : −∞ < x < b} = {x ∈ R : x < b}; abierto (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}; cerrado
(−∞, +∞) = {x ∈ R : −∞ < x < +∞} = R
El concepto de valor absoluto es útil para definir intervalos y otros subconjuntos de números
reales.
Definición 1 Valor absoluto de un número real: tresdefiniciones equivalentes
1. | x |=

x
−x

si
si

x ≥0
x <0

2. | x |= + x 2
3. | x |= m´ax{x, −x}
Usando el valor absoluto, se definen los siguientes subconjuntos de números reales:
Intervalo abierto de centro a y radio r :

{x ∈ R :| x − a |< r } = (a − r, a + r )

Intervalo cerrado de centro a y radio r :

{x ∈ R :| x − a |≤ r } = [a − r, a + r ]

Complementarios:
{x ∈ R :| x − a |> r } = R {x ∈R :| x − a |≤ r } = (−∞, a − r ) ∪ (a + r, +∞)
{x ∈ R :| x − a |≥ r } = R {x ∈ R :| x − a |< r } = (−∞, a − r ] ∪ [a + r, +∞)
Ejemplo 1 Determina los siguientes conjuntos, expresándolos en forma de intervalos o unión de intervalos:
1. {x ∈ R :| x − 3 |> 2}; sol: (−∞, 1) ∪ (5, +∞)
2. {x ∈ R :| x + 1 |≥ 5}; sol: (−∞, −6] ∪ [4, +∞)
3. {x ∈ R :| x − 2 |≤ 8}; sol: [−6, 10]
Definición 2 Un entorno deun punto a es un intervalo (abierto) de centro el punto a y radio un número pequeño (en ocasiones cercano a cero) que se denota por la letra griega ε (epsilon)
E (a, ε) = {x ∈ R :| x − a |< ε} = (a − ε, a + ε)
Por tanto, son puntos que están todos muy cerca de a (cuanto más pequeño es ε, más cercanos). Por
ejemplo, el siguiente entorno del punto a = 0,
E (0, 0 1) = {x ∈ R :| x |< 0 1} = (−0 1, 01)
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CAPÍTULO 1: FUNCIONES de una VARIABLE. CONTINUIDAD

1.2. Coordenadas cartesianas: origen, ejes, puntos en el plano
El plano R2 es el conjunto de pares ordenados de números reales (x, y) donde x, y ∈ R
A la primera coordenada de un punto (x, y) del plano R2 se la denomina abscisa y a la segunda
ordenada; la abscisa corresponde al eje...