MATE I LIMITES ULTIMA 290809


Lic. Ramón Vargas
Análisis Matemático I.
Unidad IV
Límites
 Límites unilaterales

Hay casos en que las funciones no están definidas en los números reales a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, en un intervalo abierto quecontiene al número, no tiene sentido.
Ejemplo:

 Límite unilateral por la derecha:
Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

 Límite unilateral por la izquierda:
Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x),cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

Teorema del limite:



EJERCICIOS PROPUESTOS






1. Solución:



 2. Solución:



3. Solución:



4. Solución:



 Teoremas de límites

 Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Nota: los teoremas se presentan sindemostración.
Teorema de límite 1:
Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

 Teorema de límite 2:
Para cualquier número dado a,

 Teorema de límite 3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

 Teorema de límite 4:

 Teorema de límite 5:


Teorema de límite 6:
Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

 Teorema de límite 7:
Si q es una función racional y apertenece al dominio de q, entonces

 Teorema de límite 8:



 Teorema de límite10:


 Teorema de límite11:

Límite unilateral por la derecha:
Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe


 Límite unilateral por la izquierda:
Sea f una función definida en todos los números de (d,a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe



Teorema de límite12:


Límites infinitos

   Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

 Crecimiento infinito:


 Decrecimiento infinito:


 Teorema de límite13:


 Teorema de límite14:


 Teorema delímite15:


 Teorema de límite16:






 Teorema de lìmite 17:

Límites en el infinito

 Teorema de límite18:



 Teorema de límite19:


 

 Procedimiento para calcular límites
 Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente.
Cuando al sustituir la x por a en la función, nos da una forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero,previamente, hay que transformar la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero o romper la indeterminación para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, desarrollos de productos notables, factorización por ruffini, racionalización, métodos de la conjugada y doble conjugada o cualguier método mixto que podamos emplear.

EJERCICIOS PROPUESTOSDe acuerdo con el teorema de Límite 1.

, tiene la forma , por lo que aplicamos el Teorema de Límite 3.




 6. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:


 10. Solución:
Luego de la transformación de la expresión seaplican los TL7  y  TL8:


EJERCICIOS DE LIMITES TRIGONOMETRICOS











 



 



 



 


 


 


 


 


 


 






















 

 


 


 

 














 Algunas relaciones trigonométricas fundamentales.






 





































Límites trigonométricos notables.









































































Resumen de los valores de...