Matediscreta

Apuntes de Matem´tica Discreta
a
9. Funciones

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e
C´diz, Octubre de 2004
a

Universidad de C´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a

ii

Lecci´n 9
o

Funciones
Contenido
9.1

Definiciones y Generalidades

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.1.1
9.1.2

Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.1.3

Igualdad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.1.4
9.2

Funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
o

Funci´n Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
o

Composici´n de Funciones . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 231
o
9.2.1
9.2.2

Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
o

9.2.3
9.3

Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
o

Asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Tipos de Funciones . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.3.1
9.3.2

Funci´n Suprayectiva
o

9.3.3

Funci´n Biyectiva
o

9.3.4
9.4

Funci´n Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
o

Composici´n y Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
o

Funci´n Inversa
o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 243

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9.4.1

9.5

Funci´n Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
o

9.4.2

Caracterizaci´n de una Funci´n Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
o
oComposici´n de Funciones e Inversa de una Funci´n . . . . . . . . . . . . . 258
o
o
9.5.1

Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
o

9.5.2

Unicidad de la Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

9.5.3

Inversa de la Composici´n de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
o

Hijaorgullosa del N´mero y del Espacio, he aqu´ a la funci´n.
u
ı
o
Fran¸ois Le lionnais
c

Las funciones son un tipo especial de relaciones binarias. Una funci´n puede tomarse como una relaci´n
o
o
de entrada-salida; es decir, para cada entrada o argumento, una funci´n produce una salida o valor. Las
o
funciones son la base de muchas de las m´s poderosas herramientas matem´ticas, y muchosde nuestros
a
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conocimientos en inform´tica pueden ser codificados convenientemente describiendo las propiedades de
a
cierto tipo de funciones. En esta lecci´n definiremos las funciones en general y varios casos particulares.
o
La notaci´n y terminolog´ que utilizamos se usa ampliamente en matem´ticas e inform´tica.
o
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225

Universidad de C´diz
a

9.1

Departamento deMatem´ticas
a

Definiciones y Generalidades

Una funci´n de un conjunto A en otro conjunto B es una regla que asigna un elemento de B a cada
o
elemento de A. Notaremos las funciones con las letras f, g, h, . . ..

9.1.1

Funci´n
o

Sean A y B dos conjuntos no vac´
ıos. Una funci´n de A en B, y que notaremos f : A −→ B, es una
o
relaci´n de A a B en la que para cada a ∈ A, existe ununico elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . Si
o
´
(a, b) ∈ f , escribiremos f (a) = b y diremos que b es la imagen de a mediante f .
Es decir, una funci´n f de A en B es una relaci´n de A a B con las caracter´
o
o
ısticas especiales siguientes:
1. Cada elemento de A se presenta como la primera componente de un par ordenado de la relaci´n f .
o
Obs´rvese que esto significa que Dom (f ) =...