Matem

1.

Tarea: Leyes de cancelaci´n
o
Demostrar que:

1.

Si a ∗ b = a ∗ c entonces b=c

2.

Si c ∗ a = b ∗ a entonces b=c

3.

Las ecuaciones: x ∗ a = b y a ∗ x = b tienen soluci´n unica
o´

3) Si a ∗ b = a ∗ c entonces b=c
´
DEMOSTRACION
Suponemos que a ∗ b = a ∗ c. Entonces:
b = e ∗ b = (a ∗ a−1 ) ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c) = (a−1 ∗ a) ∗ c = e ∗ c =c

4) Si c ∗ a = b ∗ a entonces b=c
´
DEMOSTRACION
Suponemos que c ∗ a = b ∗ a. Entonces:
c = c ∗ e = c ∗ (a ∗ a−1 ) = (c ∗ a) ∗ a−1 = (b ∗ a) ∗ a−1 = b ∗ (a ∗ a−1 ) = b ∗ e = b

3) Las ecuaciones:
x ∗ a = b, a ∗ x = b
son unicas.
´
´
DEMOSTRACION
Consideremos la ecuaci´n x ∗ a = b. Tomemos x := b ∗ a−1 .
o
Entonces:
(b ∗ a−1 ) ∗ a = b ∗ (a−1 ∗ a) = b ∗ e = b
Luego, x = b ∗ a−1es soluci´n de la ecuaci´n x ∗ a = b. Adem´s ´sta es unica, pues si x1 ,x2 existieran, soluciones de la
o
o
ae
´
ecuaci´n x ∗ a = b ⇒ x1 ∗ a = b = x2 ∗ a
o
Por las leyes de cancelaci´n, se tiene2a que x1 = x2 .
o
Por lo tanto, la ecuaci´n x ∗ a = b tiene soluci´n unica.
o
o´
Similarmente se tiene la misma afirmaci´n para la ecuaci´n a ∗ x = b, donde la soluci´n es x = a−1 ∗ b.
o
o
o1

2.

Estudio de espacios vectoriales
Definici´n
o

Sea K un cuerpo de escalares, y V un conjunto no vac´ con reglas de suma y producto por escalar que asignan a cada
ıo,
par u, v ∈ V una suma u + v ∈ V y a cada par u ∈ V , k ∈ V un producto ku ∈ V .
V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K(y los elementos de V se llaman vectores). Si se satisfacen los siguientes
axiomas:(A1 ) Para toda terna de vectores u, v, w ∈ V , (u + v ) + w = u + (v + w).
(A2 ) Existe un vector en V, denotado por 0 y denominado vector 0, tal que u + 0 = u para todo vector u ∈ V .
(A3 ) Para todo vector u ∈ V existe un unico vector en V, denotado por -u, talque u + (−u) = 0.
´
(A4 ) Para todo pard e vectores u, v ∈ V , u + v = v + u.
(M1 ) Para todo escalar k ∈ K y todo par de vectores u,v ∈ V , k (u + v ) = ku + kv .
(M2 ) Para todo par de escalares a, b ∈ K y todo vector v ∈ V , (a + b)u = ua + bu.
(M3 ) Para todo par de escalares a, b ∈ K y todo vector v ∈ V , (ab)u = a(bu).
(M4 ) El escalar unidad 1 ∈ K cumple 1u = u para todo vector u ∈ V .
V es un grupo conmutativo bajo la suma (grupo abeliano).
De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma:
v1 + v2 +... + vm
no requiere par´ntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector = es unico, que el opuesto -u de u es unico
e
´
´
y que se verifica la ley de cancelaci´n; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, w ∈ V :
o
u+w =v+w ⇒u=v
Asimismo, la resta se define seg´n:
u
u − v = u + (−v )
Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la .acci´n”del cuerpo K sobreV.
o
Obs´rvese que la rotulaci´n de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaree
o
mos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.
Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
1.

Para todo escalar k ∈ K y 0 ∈ V , k0=0.

2.

Para todo 0 ∈ K y todo vector u ∈ V , 0u = 0.

3.

Si ku = 0, donde k ∈ K y u ∈ V ,entonces k=0 o u=0.

4.

Para todo k ∈ K y todo u ∈ V , (−k )u = k (−u) = −ku.

2

1.5 Ejercicios
22 de marzo de 2003
Alumno: Real Berm´dez Jes´s M.
u
u
1.

Determine cuales de los siguientes conjuntos es un grupo:
a)

N´meros pares con la suma.
u
Soluci´n
o
Si consideramos que = es n´mero par, entonces; el conjunto de los n´meros pares con la suma es un grupo,
u
u
adem´s esun grupo abeliano, puesto que:
a
1)
2)
3)

b)

Dada la operaci´n suma en los n´mero pares es asociativa, para cada a, b, c ∈ P ares.
o
u
Existe una unica identidad denotada como 0, tal que ∀a ∈ P ares entonces: a + 0 = a.
´
Existe un unico inverso, talque ∀ ∈ P ares entonces: a − a = 0.
´

Las ra´
ıces reales y complejas del polinomio xn − 1, con respecto al producto.
Soluci´n...