Matematica 3 Listo

 FUNCIONES VECTORIALES Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores.
x= f (t) x=g (t) x=h (t)
A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en:
* Geometría
* Física
* Ingeniería
Las aplicaciones goemétricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes,normales a una curva y curvatura.
En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo.
DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL:
Sean f, g y h, funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcion vectorial R mediante:
R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k
donde t esun número real del dominio común de f, g y h. En el plano, se define una funcion vectorial R mediante:
R(t)= f (t) i + g (t) j
Donde t pertecene al dominio común de f y g.
DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Sea :
R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k
Entonces el límite R(t) cuando tiende a a esta definido por
lim R(t) = [ lim f (t) ]i + [lim g (t) ] j + [lim h (t) ]k
t a t a t a t a
si limf (t) i, g (t) j, h (t) k existen
t a t a t a
Esta función se aplican a las funciones vectoriales del plano a considerar la componente K como cero(0).
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
La función vectorial R es continua al número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
I.- R(a)existe
II.- lim R(t) existe;
t a
III.- lim R(t) =R(a) ;
t a
De esta definición,una definición vectorial es continua en el número a si y solo si sus componentes reales son continuas en a.
VECTOR TANGENTE UNITARIO
Ahora se asociarán a cada punto de una curva de dos vectores, el vector tangente unitario y el vector normal unitario. Estos vectores aparecen en muchas aplicaciones de las funciones vectoriales.
DEFINICION DE VECTOR TANGENTE UNITARIO
Si R(t) es el vector de posiciónde una curva C en el punto P de C el Vector Tangente Unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la dirección de Dt R(t) si Dt R(t) ≠ 0.
Como el vector unitario en la dirección de Dt R(t) está dado por Dt R(t) / || Dt R(t) ||, entonces:
T(t) = Dt R (t)
|| Dt R(t) ||
T(t) es el vector unitario, Dt R(t) debe ser ortogonal a T(t). Mientras Dt T(t) que no necesariamente el un vectorunitario, el vector Dt T(t) / || Dt T(t) || es unitario y tiene la misma dirección de Dt T(t). Por tanto, Dt T(t) / || Dt T(t) || es un vector ortogonal a T(t), y se denomina vector normal unitario.

DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL UNITARIO
Si T(t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C el Vector Normal Unitario, denotado por N(t), es el vector unitario en la dirección de DtT(t) .
N(t)= Dt N (t)
|| Dt N(t) ||

CURVATURA

Es un proceso importante en el estudio de la geometría diferencial y del movimiento rectilíneo. Dicho concepto proporciona la tasa de variacion o cambio de la dirección de una curva con respecto a la variacion en su logitud.

El estudio de la curvatura se inicia en la curva plana C, y se considera que Ø radianes es la medida del ángulo, medido en elsentido contrario al giro de las manecillas del reloj, desde la dirección del eje x positivo hasta la dirección del vector tangente unitarioT(t) en el punto P de C.
A continuación veremos un ejemplo de ello en el cual se muestra Ø y T(t) donde s unidades es la longitud del arco a partir de un punto P0 de C hasta P. En el punto Q de C, la medida en radianes del ángulo que determina la dirección deT(t+ ∆t) es Ø + ∆Ø y s + ∆s unidades es la longitud de arco de P0 a Q.

CURVATURA
DEFINICION DEL VECTOR CURVATURA Y CURVATURA
Si T(t) es el vector tangente unitario a una curva C en un punto P, s es la longitud de arco medida desde un punto P de C elegido arbitrariamente y s crece conforme t se incrementa, entonces el vector curvatura de C en P, denotado por K(t ) se define como:
K(t )=DsT(t)
La...