Matematica pura

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Índice
Pág.
Introducción………………………………………………………………………... 3
Sistema De Ecuaciones Lineales……………………………………………….. 4
Sistema De Homogéneo y No Homogéneo……………………………………..8
Relación a los sistemas no homogéneos………………………………………10
Sistema Compatible e Incompatible – Determinado eIndeterminado………11
Sistema Equivalente……………………………………………………………...15
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones………………………..17

Introducción

En esta sección se introducen los conceptos básicos referentes a los sistemas de ecuaciones lineales. Definiremos cuando una ecuación es una ecuación lineal y cuando se tiene un sistema de ecuaciones lineales. La matriz aumentada del sistema seutilizara para representar convenientemente el total de la información del sistema y se describirá como la manipulación de ella equivale a la manipulación del sistema de ecuaciones. Asimismo, se introducirá la idea de la estrategia de eliminación gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones basado ciertas operaciones llamadas operaciones elementales.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron yaresueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4 anchura + longitud = 7 manos
Longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzanasignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28
y + x = 10
Sistema De Ecuaciones Lineales
Cuando se considera una función lineal , por ejemplo: , la cual podría servir para determinar el número depersonas ( ) que podrían alimentarse con una cantidad de kilogramos de arroz, se puede presentar la situación siguiente: Suponiendo que se tienen personas invitadas para un evento especial, si se quiere determinar el número de kilogramos de arroz que habría que preparar para alimentarlas, tendría que plantearse la siguiente pregunta: ¿Para cuál número real se cumple qué ? Este tipo de preguntasurge con frecuencia y da origen a lo que llamamos ecuaciones lineales, pues sabiendo que , se plantea la ecuación lineal: y al resolverla se encuentra el número buscado: la pre imagen de 122 mediante , que es, en este caso, , pues .
Se necesitarían, entonces, Kg. de arroz para el evento.
Si ahora se tiene una transformación lineal con transformaciones Lineales

Definida por:

Unasituación análoga a la anterior sería la siguiente:
Dado el punto en , ¿Cuál será el punto en tal que ? o, dicho de otro modo: ¿Cuál será la pre imagen de mediante ? Como , se tiene que cumplir:


Pero, dado que dos vectores en son iguales sólo si coinciden en sus tres coordenadas, se debe cumplir lo siguiente:
1.

2.

3.

Las ecuaciones 1), 2) y 3) deben cumplirse todas paraque sea cierto que .
Estamos en presencia de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, y su solución es un vector de , que en este caso es .
Esto significa que:

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución única, tener infinitas soluciones, o no tener ninguna solución. Este último caso es el que se da cuando el vector cuya pre imagen se busca, no pertenece alrango de la función. A continuación, se estudiarán sistemas de ecuaciones diversos y se explicará el modo de reconocer cuándo tienen solución y si ésta es única o no. También se estudiarán métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones de hasta tres incógnitas y hasta tres ecuaciones.
Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales. Un sistema de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas como:

Puede...
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