Matematicas_apl_cienciassociales_sep_2012

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS
OFICIALES DE GRADO

2011-2012
MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II

INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN
INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente
examen y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de losque consta la opción elegida.
Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de
capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico.
CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.
TIEMPO: Una hora y treinta minutos.

OPCIÓN A
Ejercicio 1. (Calificación máxima: 3 puntos)
Un pintor dispone de dostipos de pintura para realizar su trabajo. El primer tipo de pintura tiene
un rendimiento de 3 m2 por litro, con un coste de 1 e por litro. El segundo tipo de pintura tiene
un rendimiento de 4 m2 por litro, con un coste de 1,2 e por litro. Con ambos tipos de pintura se
puede pintar a un ritmo de 1 litro cada 10 minutos. El pintor dispone de un presupuesto de 480 e
y no puede pintar durante más de75 horas. Además, debe utilizar al menos 120 litros de cada
tipo de pintura.
Determínese la cantidad de pintura que debe utilizar de cada tipo si su objetivo es pintar la
máxima superficie posible. Indíquese cuál es esa superficie máxima.
Ejercicio 2. (Calificación máxima: 3 puntos)
x(2x − 1)
.
x−1
(a) Determínense las asíntotas de f . Calcúlense los extremos relativos de f .
(b) Represéntesegráficamente la función f.
� 5
f (x)
dx.
(c) Calcúlese
x2
2

Se considera la función real de variable real definida por: f (x) =

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se dispone de cinco cajas opacas. Una contiene una bola blanca, dos contienen una bola negra y
las otras dos están vacías. Un juego consiste en ir seleccionando al azar y secuencialmente una
caja no seleccionada previamente hasta obteneruna que contenga una bola. Si la bola de la caja
seleccionada es blanca, el jugador gana; si es negra, el jugador pierde.
(a) Calcúlese la probabilidad de que el jugador gane.
(b) Si el jugador ha perdido, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado una sola caja?
Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
La duración en kilómetros de los neumáticos de una cierta marca se puede aproximarpor una
variable aleatoria con distribución normal de media µ desconocida y desviación típica igual a
3000 kilómetros.
(a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 neumáticos y se obtiene una media muestral
de 48000 kilómetros. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90 % para µ.
(b) Calcúlese el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el valor absoluto de
la diferenciaentre la media de la muestra y µ sea menor o igual a 1000 kilómetros con
probabilidad mayor o igual que 0,95.

OPCIÓN B
Ejercicio 1. (Calificación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parámetro real k :


x+y+z=2




x + ky + 2z = 5




kx + y + z = 1.
(a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.
(b) Resuélvase el sistema para k= 0.
(c) Resuélvase el sistema para k = 2.
Ejercicio 2. (Calificación máxima: 3 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por:



si x ≤ 1
ax + b
f (x) = 

 x3 − x2 + 1 si x > 1.

(a) Calcúlense los valores de a y b para los que la función f es continua y derivable.
(b) Para a = 0 y b = 1, hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en los puntos en
los quedicha tangente es paralela a la recta y − 8x = 1.
(c) Sea g la función real de variable real definida por g(x) = 1 − 2x2 . Para a = 1 y b = 0, calcúlese
el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de f y la gráfica de g.

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se consideran dos sucesos A y B tales que:
1
1
P(B|A) =
P(A) =
3
4
Calcúlese razonadamente:
(a) P(A ∩ B).
(b) P(B)....