Matematicas aplicadas

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DOCUMENTOS DE SOPORTE

A continuación se presentan de manera resumida las soluciones generales para el tratamiento de ejercicios que involucran integrales indefinidas y definidas, la síntesis de los principales métodos de integración y las integrales de funciones trigonométricas mas comunes. CUADRO RESUMEN DE REGLAS Y PROPIEDADES DE INTEGRALES Integral Indefinida de una Constante

∫ kdx = kx+ C
∫ x dx = n + 1 x
n

(k , una constante)

1

Regla de la Potencia Integral Indefinida de constante de una función un múltiplo

n +1

+ C (n ≠ −1)

∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx

(c, una constante)

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
Regla de la Suma

∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx
de la función

Integral Indefinida exponencial

∫ e dx = ex

x

+C

Integral indefinida de la función f(x) = x- 1

∫x

−1

dx =

1 ∫ x dx = ln x + C (x ≠ 0)

Integrales Trigonométricas

∫ sen kx dx = − k cos kx + C ∫ sec
2

1

∫ cos kx dx = k sen kx + C

1

kx dx =

1 tan kx +C k

∫ sen x dx = − cos x + C ∫ tanx dx = ln sec x + C

∫ cos x dx = sen x + C

METODOS DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN A partir de laexpresión:

∫ f (g (x )) ⋅ g ' (x )dx = ∫
b a

u 2 = g (b )

u1 = g ( a )

f (u )du

Paso 1 Dada una función compuesta f(g(x)), donde g(x) es la "función interior" se puede hacer el cambio a una variable u, tal que u=g(x). Paso 2 Se calcula du=g'(x)dx Paso 3 Se usa la sustitución u=g(x) y du=g'(x)dx para convertir toda la integral en una, que quede en términos de u. Paso 4 Se cambianlos limites de integración a y b por los correspondientes al evaluar g(a)= u1 y g(b)= u2. Paso 5 Se resuelve la integral resultante. Paso 6 Se lleva la solución a la variable original (en términos de x), es decir se reemplaza u con g(x).

INTEGRACION POR PARTES Si la derivada del producto se define, así:
D x (uv ) = v du dv +u dx dx

De donde,

u ( x)v' ( x) = D x [u ( x)v( x)] − v( x)u ' (x)



u ( x)v' ( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ v( x)u ' ( x)dx du = u ' ( x)dx dv = v' ( x)dx

Resultando la expresión general para la solución de integrales por partes:

∫ udv = uv − ∫ vdu

Paso 1 Factorice el integrando de manera que quede compuesto de dos partes, una será u y la otra dv, la cual debe incluir el diferencial dx. Paso 2 Una vez asignadas u y dv, determine du y v (derivando eintegrando respectivamente), y reemplace los términos en la fórmula general de la integración por partes. Paso 3 La expresión resultante debe contener una integral de mas fácil resolución.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO - INTEGRALES DEFINIDAS Sea f continua en un intervalo [a,b], entonces:



b

a

f ( x)dx = F ( x) a = F (b ) − F (a )
b

Donde F es una antiderivada de f, es decirF'(x) =f(x)

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

∫ f (x )dx = 0
a a

∫ f (x )dx = −∫
b a

a

b

f ( x)dx
b

∫ [ f ( x) ± g ( x)] = ∫
b a

a

f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a b c

b



b

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a

c

(a < c < b )

APLICACIONES AREAS Sea una función y=f(x), se puede calcular el área bajo la curva, sabiendo que:
Area = Base × Altura(área de un rectángulo)

Donde se pueden sumar las áreas diferenciales (∆A) de cada rectángulo de:
Base = ∆x

Atura = y = f (x)

Así, al sumar todas las áreas Ai en el área entre los limites x=a y x=b se obtiene:
Area =

∫ A = ∫ y∆x = ∫ f ( x)dx
i AT x=a x=a

x =b

x =b

AREA DE FIGURAS PLANAS Se mantiene el concepto de área, teniendo en cuenta que ésta se calculará entre dos omas curvas f(x), g(x) ...etc. Clave: Determinar en que sentido se van a tomar los rectángulos diferenciales de área ∆Ai, para esclarecer su base (∆x ó ∆y) y su altura (y=f(x) ó x=f(y)). Así mismo, hay que tener en cuenta, que la altura de estos rectángulos diferenciales tendrán un altura dada por una función h(x) = f(x)-g(x).

NOTACION MATRICIAL

 a11 a12 K a1 j K a1n     a21 a22 K a2...
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