Matematicas Discretas conjuntos



Sean
U= {z|z es una persona}
A= {x|x es un artista}
B={y|y es un político}

A⊆U y B⊆U

p: Son Ricos.
q: Son Corruptos.
r: Son Ricos y Corruptos.


A partir de aquí se tiene que:∀z p(z): Todas las Personas son Ricas.
∀x p(x): Todos los Artistas son Ricos.
∀y p(y): Todos los Políticos son Ricos.
∀x q(x): Todos los Artistas son Corruptos.
∀y q(y): Todos los Políticos sonCorruptos.

∃z q(z): Algunas Personas son Corruptas.
∃x p(x): Algunos Artistas son Ricos.
∃y p(y): Algunos Políticos son Ricos.
∃x q(x): Algunos Artistas son Corruptos.
∃y q(y): AlgunosPolíticos son Corruptos.


∀z r(z): Todas las Personas son Ricas y Corruptas.
∀x r(x): Todos los Artistas son Ricos y Corruptos.
∃y r(y): Algunos Políticos son Ricos y Corruptos.

∀x ∀y r(x, y): Todoslos Artistas y todos los Políticos son Ricos y Corruptos.

∃x ∃y r(x, y): Algunos Artistas y algunos Políticos son ricos y Corruptos.

∃x ∀y r(x, y): Algunos Artistas y Todos los Políticos sonRicos y Corruptos.
Se puede observar que en este caso se tiene que:

∃x ∀y r(x, y) ≡ ∃x p(x) ^ ∀y q(y) x, y ∈ U
El complemento de un enunciado se indica de la siguiente manera:
[∀x p(x)]' ≡∀x p'(x): Ningún Artistas es Rico.
ya que el complemento de todos es "ninguno". Sin embargo, el complemento de algunos son los elementos que faltan para completar "todos":
[∃x p(x)]' ≡ ∃x'(x):Algunos Artistas no son Ricos.
∀x ∃y r'(x, y): Ningun Artista es rico ni corrupto, y algunos Politicos no son ricos ni corruptos.

Entonces el enunciado:
"Todos los Artistas son Ricos. AlgunosPolíticos son Corruptos. En conclusión no todos
conclusión no todos los artistas y no todos los políticos son ricos y corruptos."

se puede representar como:
[∀x p(x) ^ ∃y q(y)] ⇒ [∃x ∃y r'(x, y)] x∈ A; y ∈ B
También puedes expresarse sacando del corchete los cuantificadores ∃ y ∀:
∀x ∃y [p(x) ^ q(y)] ⇒ ∃x ∃y [r'(x, y)] x ∈ A; y ∈ B
o bien quitando el cuantificador universal ∀ y...