Matematicas_III_Unidad_IV

Matemáticas III

Profesor Homero Espinoza Meneses

Unidad IV. La Elipse y la Circunferencia
4.1 Estudio de la Elipse
4.1.1 La elipse como lugar geométrico.
Es un lugar geométrico que describe un punto que se mueve en un plano tal que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante.

P

F1

F2

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎̅̅̅̅̅
𝑃𝐹1 + 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎̅̅̅̅̅
𝑃𝐹2 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
4.1.2Elementos que definen a la elipse
M

P

L
b
V1

F1

F2

C

V2

c
R
N
a

V1 , V2 : Vértices de la elipse
F1 , F2 : Focos de la elipse

̅̅̅̅ = Lado Recto =
LR

2𝑏 2
𝑎

̅̅̅̅̅
C𝐹1 = ̅̅̅̅̅
C𝐹2 = c : distancia focal

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏 2
C: Centro de la elipse(h,k)
̅̅̅̅̅̅
V1 𝑉2 : Eje Mayor = 2𝑎
̅̅̅̅̅
C𝑉1 = ̅̅̅̅̅
C𝑉2 : 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 𝑎

Excentricidad: Es el grado
de achatamiento de la elipse.
𝒄
𝒆=
𝒂
Si e=0 esuna recta
Si e=1 es una circunferencia
Si 0
̅̅̅̅̅ = 𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 2𝑏
MN
̅̅̅̅
CM = ̅̅̅̅
CN: 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑏
1

Matemáticas III

Profesor Homero Espinoza Meneses

4.1.3 Trazo de la elipse y sus propiedades de simetría
1. Se señala el centro, los vértices, los focos y los puntos M, N
2. Se trazan los ejes mayor y menor

V2

V1

3. Se toma un punto cualquiera S del segmento F1F2 ycon el centro en los focos y radios SV1 y SV2 se
trazan dos arcos que se cortaran en puntos de la elipse. Para diferentes posiciones del punto S se
obtendrán nuevos puntos, y uniéndolos por medio de un trazo continuo se obtiene la curva.

V2

V1

2

Matemáticas III

Profesor Homero Espinoza Meneses

4.1.4 Ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas
Tipos de ElipseHorizontal
Eje mayor paralelo al eje x

Vertical
Eje mayor paralelo al eje y

Ecuación ordinaria
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
= 1 … (4.1)
𝑎2
𝑏2
Si el centro de la elipse está en el origen:
𝑥2 𝑦2
+
= 1 … (4.3)
𝑎2 𝑏 2

Ecuación ordinaria
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
= 1 … (4.2)
𝑏2
𝑎2
Si el centro de la elipse está en el origen:
𝑥2 𝑦2
+
= 1 … (4.4)
𝑏 2 𝑎2

Multiplicando por a2b2 :

Multiplicando por a2b2 :b2x2+a2y2=a2b2…(4.5)
Ecuación General

a2x2+b2y2=a2b2…(4.6)

Ax2+By2+Cx+Dy+E=0…(4.7)
Si B>A es horizontal

Si A>B es vertical

A=b2
B=a2
C=-2b2h
D=-2a2k
E=b2h2+a2k2-a2b2

A= a2
B= b2
C=-2a2h
D=-2b2k
E=a2h2+b2k2-a2b2
𝑐
;
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏 2
𝑎
Elementos de calculo

𝑒=
C(h,k)
V1(h-a,k)
V2(h+a,k)
F1(h-c,k)
F2(h+c,k)
M(h,k+b)
N(h,k-b)

C(h,k)
V1(h,k-a)
V2(h,k+a)
F1(h,k-c)
F2(h,k+c)
M(h+b,k)
N(h-b,k)

LR=2b2/a
Eje mayor=2a
Ejemenor=2b
Cruces con los ejes
Cruce con y: hacer x=0 y resolver la ecuación cuadrática
Cruce con x:hacer y=0 y resolver la ecuación cuadrática
3

Matemáticas III

Profesor Homero Espinoza Meneses

Ejemplo: La ecuación general de una elipse es: 25x2+49y2+300x-196y-129=0, determinar: a)
ecuación ordinaria, b) Centro, c) Vértices, d) Focos, e) Lado recto, f) Eje mayor, g) Eje menor, h)
Excentricidad, i)Cruces con los ejes, j) Gráfica.
Primero determinamos el tipo de elipse: Como 49>25 (B>A), se trata de una elipse horizontal.
a) Ecuación ordinaria. Necesitamos los valores a, b
A=b2

𝑏 = √25 = 𝟓
,h, k; los cuales obtenemos de las siguientes
relaciones:
B=a2

𝑎 = √49 = 𝟕
300
−2∗25

C=-2b2h 

ℎ=

D=-2a2k 

𝑘 = −2∗49 = 𝟐

= −𝟔

−196

(𝑥 + 6)2 (𝑦 − 2)2
+
=1
49
25
b) Centro: es la coordenada h,kcalculada en el paso Centro(h,k) : (-6,2)
anterior
c) Vértices
V1(h-a,k) : (-6-7,2) : (-13,2)
V2(h+a,k) : (-6+7,2) : (1,2)
d) Focos : Necesitamos primer calcular el parámetro
c

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏 2 = √49 − 25 = √24 = 4.9
F1(h-c,k) : (-6-4.9,2) : (-10.9,2)
F2(h+c,k) : (-6+4.9,2) : (-1.1,2)

e) Lado recto

f) Eje mayor
g) Eje menor

h) Excentricidad
i)

2𝑏 2
2 ∗ 52
𝐿𝑅 =
=
= 𝟕. 𝟏
𝑎
7
Eje mayor=2a=2*7=14Eje menor =2b=2*5=10
M(h,k+b) : (-6, 2+5) : (-6,7)
N(h,k-b) : (-6, 2-5) : (-6,-3)
𝑒=

𝑐
4.9
=
= 𝟎. 𝟕
𝑎
7

Cruces con los ejes




25(0)2+49y2+300(0)-196y-129=0
Hacer x=0 en la ecuación general y resolviendo 49y2-196y-129=0
Resolviendo por la fórmula general:
para y
y1=-0.58; y2=4.58
Hacer y=0 en la ecuación general y resolviendo 25x2+49(0)2+300x-196(0)-129=0
25x2+300x-129=0
para x
Resolviendo...

Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.