Matematicas2004

ARITMETICA
1. Números Reales.

⎧ Números Naturales ¨ N ¨
⎪ N = {1,3,2,4,..., ∞}
⎪
⎪ Números Enteros ¨ Z ¨
⎪
⎪Z = {− ∞,...,−3,−2,−1,0,1,2,3,..., ∞}
⎪
Números Reales ¨R¨⎨ Números Racionales ¨Q ¨
⎪
3 1 1 1 1 3
⎪Q = ⎧⎨− ∞,...,− ,− ,− ,0, , , ,..., ∞ ⎫⎬
4 2 4 4 2 4
⎪
⎩
⎭
⎪ Números Irracionales ¨Q' ¨
⎪
⎪⎩Q' = − ∞,...,−π ,− 3 ,− 2 ,0, 2 , 3 , π ,..., ∞

{

}

Leyes de los signos

Suma y Resta.(+)+(+)=(+)
(-)+(-)=(-)

El resultado siempre es positivo.
El resultado será la suma de los números negativos dando un valor negativo.

(+)+(-)=
Se resta el número mayor menos el menor y conserva el signo del número mayor.
(-)+(+)=
Multiplicación

División

(+)·(+)=(+)

(+)÷(+)=(+)

(+)·(-)=(-)

(+)÷(-)=(-)

(-)·(+)=(-)

(-)÷(+)=(-)

(-)·(-)=(+)

(-)÷(-)=(+)

EJEMPLOS:
SUMA Y RESTA
(5) + ( 4) = 9MULTIPLICACIÓN
(5) (3) = 15

DIVISIÓN
(45) / (3) = 15

(5) + (-3) = 2

(9) (-5) = -45

(144) / (-12) = -12

(-5) + (-3) = -8

(-6) (7) = -42

(-125) / (25) = -5

(-8) + (5) = -3

(-6) (-8) = -48

(-225) / (-25) = 9

1.1 PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

Dentro de las propiedades de la Números Reales está un carácter binario dentro de las operaciones, la cual se define
como: “Una operaciónbinaria en un conjunto es una regla que nos asocia a cada par de elementos del conjunto con otro
elemento único del mismo conjunto”.

1.1.1 Estas propiedades son aplicadas para la suma y la resta

CERRADURA: La suma de dos números reales es un número real.
PROPIEDADES

CERRADURA

ADICAION

a+b=c

SUSTRACCUION

a-b=c

COMUTATIVA: El orden de los sumandos no altera la suma.
PROPIEDADES

CONMUTATIVAADICAION

a+b=b+a

SUSTRACCUION

a–b=-b+a

ASOCIATIVA: La suma no varia si se asocian en diferentes formas los sumandos.
PROPIEDADES

ASOCIATIVA

ADICAION

a+(b+c)=(a+b)+c

SUSTRACCUION

a+(b–c)=(a+b)-c

NEUTRO: El cero ( 0 ) es le elemento neutro aditivo.
PROPIEDADES

NEUTRO

ADICAION

a+0=a

SUSTRACCUION

a–0=a

1.1.2 Estas propiedades son aplicadas para la multiplicación, división,potenciación y radicación.

CERRADURA: Cuando se multiplican de dos números reales es un número real.
PROPIEDADES

CERRADURA

MULTIPLICACION

a·b=c

POTENCIACION

a · a = a2

RADICALIZACION

2

DIVISION

a/b = c

49 = 7

COMUTATIVA: El orden de los factores no altera el producto.
PROPIEDADES

CONMUTATIVA
a·b=b·a

MULTIPLICACION

2

a · b3 = b3 · a2

POTENCIACION

a·

RADICALIZACION

b=

b·

a

a/b = 1/b ·a/1

DIVISION

ASOCIATIVA: El producto no varia si se asocian en diferentes formas los factores.
PROPIEDADES

ASOCIATIVA

MULTIPLICACION
POTENCIACION

a·(b·c)=(a·b )·c

RADICALIZACION

a·(a·b)=(a·a)·b
a·(

DIVISION

b·

c)=(

a·

b)·

c

A · ( b/c ) = ( a · b ) / c

NEUTRO: El uno ( 1 ) es le elemento neutro multiplicadito.
PROPIEDADES

NEUTRO

MULTIPLICACION

a·1=a

POTENCIACION

a1=aRADICALIZACION

1

a=a

DISTRIBUTIVA: Todo producto de suma se puede convertir en una suma de productos.
SEAN a, b, c,

R ⇒ a · (b + c) = ab + ac
⇒ (a + b) · c = ac + bc

1.1.3

a)

FACTORIZACIÓN

Descomposición de números naturales en factores primos:

La descomposición se realiza por medio de números que tiene únicamente dos divisores, la unidad y por si mismo, los
cuales se le conocen como números primos,por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. Este tipo de descomposición sólo se
realiza en números naturales, debido a que los radicales existen números fraccionales que podrían ser factores primos de
un número.

EJEMPLO: Deseamos expresar el 30 como producto de factores primos:

b)

Mínimo común múltiplo (m.c.m.):

Es el número menor que puede aplicarse como resultado a “n” números naturales.EJEMPLO: Hallar el m.c.m de los número naturales: 12, 24, 36, 48, 72.

c)

Máximo común divisor (M.C.D.):

Es el mayor número que divide a todos exactamente. El M.C.D. se forma con el producto de los factores primos comunes
con su menor exponente.

EJEMPLO: Hallar el M.C.D. de los números naturales 36, 48, 24.

1.1.4

RELACIONES DE IGUALDAD DE ORDEN.

Relaciones de igualdad:
-

Reflexiva, Simétrica,...