matemetikas
Páginas: 7 (1512 palabras)
Publicado: 1 de abril de 2014
ECUACIONES EXPONENCIALES
http://matebrunca.com/matematicas/algebra/ecuaciones-exponenciales/
Ecuaciones Trascendentes:
La ecuación que no se reduce a la ecuación algebraica mediante las transformaciones algebraicas, se llama ecuación trascendente. Por transformaciones algebraicas de la ecuación f(x) = 0, se entienden las transformaciones siguientes:
1. La adición a ambos miembros de laecuación una misma expresión algebraica.
2. La multiplicación de ambos miembros de la ecuación por una misma expresión algebraica.
3. La elevación de ambos miembros de la ecuación a una potencia racional.
Las ecuaciones transcendentes más simples son las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
La ecuación exponencial: Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde lasincógnitas forman parte sólo de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. Usualmente la letra es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra.
Una de las ecuaciones exponenciales más simples, cuya solución se reduce a la de una ecuación algebraica, es la ecuación del tipo .
Ejemplos:
, ,
Solución de las Ecuaciones Exponenciales: Existendos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales.
1. Método de reducción a una base común: Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base común , donde es un número positivo, distinto de 1. Usando la propiedad
en otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un tipo de ecuación en el cual se aplican las transformacionesalgebraicas explicadas anteriormente.
2. Método de logaritmización de una ecuación exponencial: Se aplica logaritmos a conveniencia en ambos lados de la ecuación y se procede con las transformaciones algebraicas y las leyes de logaritmos conocidas.
Sin embargo, es la práctica la que nos ayudara a diferenciarlas y la solución será mucho más fácil cada vez que resolvamos la siguiente ecuación.Además, toda solución debe probarse en la ecuación original, debido a que a veces en el procedimiento se introducen operaciones que agregan raíces extrañas.
Cuando no es posible expresar ambos lados de la ecuación con la misma base utilizaremos la siguiente igualdad:
Ejemplo
Resolver la ecuación
Solución:
Ejemplo
Las bacterias presentes en un cultivo en minutos se da por .¿Cuántos minutos han transcurrido para que estén presentes 12500 bacterias?
Solución
Por tanto el tiempo transcurrido es de 9 minutos.
Funciones exponencial y logarítmica
Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimientode la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, entre otras situaciones.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Ejemplo
La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas edades.
Solución
Sea
Como B tiene 8 años menos que A;
La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemosla ecuación:
Resolviendo esta ecuación tenemos que , la cual representa la edad de A.
La edad de B será
Ejemplo
La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.
Solución
Sea ; ;
Como la suma debe ser 156, hacemos la ecuación:
Resolviendo esta ecuación, se obtiene:
Luego,
Es decir que los números son: 51, 52, 53.
Comprobandoestos tres números consecutivos enteros:
ACTIVIDAD
1. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales, usando leyes de exponentes. Las respuestas están redondeadas a dos decimales.
a. (R/ )
b. (R/)
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
a.
b.
c.
d.
e....
http://matebrunca.com/matematicas/algebra/ecuaciones-exponenciales/
Ecuaciones Trascendentes:
La ecuación que no se reduce a la ecuación algebraica mediante las transformaciones algebraicas, se llama ecuación trascendente. Por transformaciones algebraicas de la ecuación f(x) = 0, se entienden las transformaciones siguientes:
1. La adición a ambos miembros de laecuación una misma expresión algebraica.
2. La multiplicación de ambos miembros de la ecuación por una misma expresión algebraica.
3. La elevación de ambos miembros de la ecuación a una potencia racional.
Las ecuaciones transcendentes más simples son las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
La ecuación exponencial: Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde lasincógnitas forman parte sólo de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. Usualmente la letra es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra.
Una de las ecuaciones exponenciales más simples, cuya solución se reduce a la de una ecuación algebraica, es la ecuación del tipo .
Ejemplos:
, ,
Solución de las Ecuaciones Exponenciales: Existendos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales.
1. Método de reducción a una base común: Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base común , donde es un número positivo, distinto de 1. Usando la propiedad
en otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un tipo de ecuación en el cual se aplican las transformacionesalgebraicas explicadas anteriormente.
2. Método de logaritmización de una ecuación exponencial: Se aplica logaritmos a conveniencia en ambos lados de la ecuación y se procede con las transformaciones algebraicas y las leyes de logaritmos conocidas.
Sin embargo, es la práctica la que nos ayudara a diferenciarlas y la solución será mucho más fácil cada vez que resolvamos la siguiente ecuación.Además, toda solución debe probarse en la ecuación original, debido a que a veces en el procedimiento se introducen operaciones que agregan raíces extrañas.
Cuando no es posible expresar ambos lados de la ecuación con la misma base utilizaremos la siguiente igualdad:
Ejemplo
Resolver la ecuación
Solución:
Ejemplo
Las bacterias presentes en un cultivo en minutos se da por .¿Cuántos minutos han transcurrido para que estén presentes 12500 bacterias?
Solución
Por tanto el tiempo transcurrido es de 9 minutos.
Funciones exponencial y logarítmica
Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimientode la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, entre otras situaciones.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Ejemplo
La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas edades.
Solución
Sea
Como B tiene 8 años menos que A;
La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemosla ecuación:
Resolviendo esta ecuación tenemos que , la cual representa la edad de A.
La edad de B será
Ejemplo
La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.
Solución
Sea ; ;
Como la suma debe ser 156, hacemos la ecuación:
Resolviendo esta ecuación, se obtiene:
Luego,
Es decir que los números son: 51, 52, 53.
Comprobandoestos tres números consecutivos enteros:
ACTIVIDAD
1. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales, usando leyes de exponentes. Las respuestas están redondeadas a dos decimales.
a. (R/ )
b. (R/)
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
a.
b.
c.
d.
e....
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