Matemática 1

Parte I
Flavia Buffo Marcela Caldarelli Susana Orofino Adriana Verdiell

Introducción
Este Curso de Nivelación se basa en el concepto de

número real, por lo tanto conocer, entender y saber manejar los
contenidos de esta unidad es esencial para un desarrollo eficaz de las restantes unidades.

Se recordarán las operaciones definidas sobre el conjunto de los
números reales y susrespectivas propiedades. Se distinguirán los principales subconjuntos numéricos y se pondrá un énfasis

especial en las representaciones gráficas.

Subconjuntos notables de los números reales
Irracionales
Naturales Enteros Racionales

Reales

R

Z
Fraccionarios

N 0
Opuestos de los Naturales

Q

N Z QR

¿ Recuerdas quienes son esos conjuntos?
 Los naturales son los números 12, 3, 4,,n, ,  Los enteros son 0, 1  1 2,  2, 3,  3, ,n,  n, , ,
a  Los racionales son de la forma , a, b  Z, b  0, b

tienen una representación decimal finita o infinita periódica. Ejemplos: 1  0.25 4
117  0.1282828   0.128 990

a b

y c
d

se dicen fracciones equivalentes si y

sólo si

a  d  b  c.

Las fracciones equivalentes definen el mismo númeroracional

Ejemplo: Las fracciones
1 68  4  17
Observa que dada una fracción

1 y 4

17 68

son equivalentes ya

hay infinitas fracciones
equivalentes a ella.

 Los irracionales son los números reales que no son

racionales. Su expresión decimal es infinita no

periódica. Ejemplos:
  3.141592653

2  1.41421356
e  2.718281828

Observa que si se trunca el númeroirracional resulta una aproximación racional de él.

Los números 1.414, 1.4142, 1.4142136 son racionales por lo tanto son aproximaciones de

2.

Cada número real se corresponde con un punto de la recta y

recíprocamente cada punto de la recta está en correspondencia
con un número real.

Los números reales se representan en una recta a partir de un origen que denotamos 0 y un segmento unidad dela siguiente manera:
Reales negativos Segmento unidad Reales positivos

)(

 4  3  2 1

0

1

2

3

4

A modo de ejemplo se muestra la representación de algunos números racionales en la recta.
 5 2
25 10 2 3

7 3



2

1

0

4 6

1

2 14
6

3

4

Observa que los números
7 y 14 6 3

se representan por

el mismo punto en la recta.

¿Quésucede con los irracionales?

¿Cómo se representa en la recta el número

2 ?

Si se grafica un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1

unidad, aplicando el Teorema de Pitágoras, se deduce que la
hipotenusa mide
2.

2

1

0

1

2

¿Cómo se representa en la recta el número



?

Consideremos la circunferencia de diámetro 1, ubicada sobre la

recta numérica como seindica en el dibujo, en ella se destaca el
punto que está en el origen . La circunferencia se desplaza hacia la derecha hasta que dicho punto vuelve a tocar la recta.

d 1

0

1

2

3



Lcircunferencia   d

  3.1415953

Propiedades
Sean a, b, c números reales. Recordemos las
propiedades básicas de la suma y el producto:
Asociativa:

(a  b)  c  a  (b  c ) (a b)  c  a  (b  c )

 Conmutativa:

ab ba a b  b a

Existencia de neutros:

El 0 es el neutro para la suma:

a0  a.

El 1 es el neutro para el producto: a 1 a.

 Existencia de inversos

Para todo a  R existe

b  R tal que

a  b  0,

b se dice el opuesto de a y se nota  a.
Para todo
a  R , a  0 existe c  R tal que a  c  1 , c se dice el inverso de ay se nota 1 . a

Distributiva del producto con respecto a la suma:

a  (b  c )  a  b  a  c.

De las propiedades anteriores resultan:


 (a)  a

 a  (b)  a  b  (a  b)

 

(a)  (b)  a  b
Si a  b  0 entonces

a  0 ó b  0.

IMPORTANTE!!! La notación  a NO indica que el número es negativo. En este ejemplo a es positivo

Ejemplos : si

a  3...