Materiales Amorfos

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Definición y representación
Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).
Las sumas de Riemann más sencillasson las siguientes:  . Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común  y de alturas  situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).

Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por eleje de las abscisas y la curva de f.

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Función primitiva
[escribe]Definición
Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo[1].
F es la función primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F′ = f. También se emplea la palabra antiderivada en un contexto más abstracto.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, esúnica, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.
[escribe]Método de cálculo
Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas,y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales primitivas:
Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Al no tener disponible la evaluación de las primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2-3x) = 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k.
Si además se pide que la primitivaverifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.
[escribe]Propiedades

La primitiva de una función impar es siempre par.
En efecto, como se ve en la figura a la derecha, las áreas antes y después de cero sonopuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así:
F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar.
Por tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar si se fija F(0) = 0.
En efecto, según la figura a la izquierda, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la igualdad de integrales:Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0).
Como F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.

La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica

Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreasiguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).
En términos de primitivas, significa que  es una constante, que se puede llamar A.
Entonces la función: | | es periódica de período T. En efecto: |

Por consiguiente   | | es la suma de G, periódica, y de | | , lineal. |-------------------------------------------------
[escribe]Integral de una función
[escribe]Definición
Al diferir las primitivas de una misma función f en una constante sólamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

A este valor se le denomina integral de f entre a y b ....