Materiales Y Circuitos Magneticos

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CAPITULO 1 MATERIALES Y CIRCUITOS MAGNETICOS 1.1.Campo magnético en un toroide hueco

Un bobina de forma toroidal es la configuración mas sencilla en cuanto al campo magnético establecido al circular una corriente por ella. Esto permite visualizar mejor los fenómenos que ocurren y obtener una mejor aproximación en la descripción de ellos. Así entonces, para este estudio, consideraremos eltoroide de la Figura 1.1 donde supondremos que:

C Rf
+

a
R

Rb

i
r

dl

θ x

v

-

O

B z
Figura 1.1.- Bobina devanada sobre un núcleo de forma toroidal
−

El conductor de la bobina es de diámetro pequeño y uniforme. Tiene una resistencia total Rb y está enrollado en N vueltas distribuidas uniformemente sobre un toroide de pared muy delgada de material no magnéticocon núcleo de aire. La bobina está conectada a una fuente de voltaje con resistencia interna Rf No hay ningún objeto magnéticamente susceptible, ubicado cerca de la bobina

− −

En base a las consideraciones anteriores, se puede postular que todos los puntos ubicados a la misma distancia r del centro O del toroide, se encuentran en idéntica situación o estado magnético, en cuanto al campomagnético establecido por la corriente i que circula en la bobina. 1.1.1.- Cálculo de la Inducción magnética B Para deducir la expresión de la Inducción Magnética B establecida por la corriente que circula en la bobina, utilizaremos la Ley Circuital de Ampere:

C

∫ B • dl = µ0 I

r

r

(1.1)

en que: r C : Curva sobre la que se evalúa B y que enlaza la corriente neta I. r Br : Inducciónmagnética en un punto sobre C [Weber/m2] dl : Elemento de longitud sobre la curva C µ 0 : Permeabilidad del vacío: 4 π · 10 -7 [Hy/m]

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Aplicando (1.1) a la Figura 1.1 se tiene:

C r

: Circunferencia de centro O y radio r ˆ B = Bθ r ˆ d l = r dθ θ , de donde :
B= µ0 I 2π r (1.2)

Para la curva C , se presentan 3 casos:
− − −

Que C sea tal que: Que C sea tal que: Que C sea tal que:0 〈 r 〈 (R − a ) ⇒ I = 0; B = 0 r 〉 (R + a ) ⇒ I = 0; B = 0 (R − a ) 〈 r 〈 (R + a ) ⇒ I = + N i

Por lo que se puede escribir
r µ Ni ˆ θ B= 0 2π r

para (R - a ) 〈 r 〈 (R + a )

(1.3)

1.1.2.- Cálculo del flujo magnético φ en el toroide

Por definición se tiene que: r ˆ φ = B • n dA

∫

S

(1.4)

donde :

r B : Inducción magnética sobre S $ n : vector unitario normal a lasuperficie S dA : Elemento de área en S.
Para evaluar (1.4) consideremos la Figura 1.2 en que se muestra una sección cualquiera del toroide.

φ

: flujo que atraviesa la superficie

Eje Toroide dA
dα α x dx

a

R r
Figura 1.2.- Sección de un toroide

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En ella se puede escribir:

r = R + x cos α dA = x dα dx r ˆ B• n = B Luego, (1.4) queda:
φ=∫
x =a x =0

∫α=0

α=2π

µ 0N i x dx dα 2π (R + x cos α )

(1.5)

Por lo que el flujo φ que atraviesa la sección transversal del toroide es[4]: φ = µ0 N i  R − R 2 − a 2      Para el toroide de sección rectangular, se obtiene: φ= µ0 N i c b Ln   2π a (1.7) (1.6)

Donde a y b son las distancias medidas desde el eje del toroide a cada lado del rectángulo (b 〉 a) y c es la altura. Si se supone que la inducciónmagnética B es constante en el interior del toroide y su valor corresponde al que existe en el centro de su sección transversal; es decir en (1.2), r se reemplaza por R, se obtiene:
−

para el toroide de sección circular:

φ= BA =
−

µ0 N i a 2 2R

(1.8)

y para el toroide de sección rectangular: φ= µ 0 N i c (b − a ) π (a + b ) (1.9)

A manera de ejemplo, consideremos el toroide desección rectangular, para evaluar el flujo usando las expresiones anteriores con: a = 4 cm; b = 6 cm; c = 2 cm; N = 600 espiras y una corriente de 1 Amp. en la bobina. Los valores obtenidos son φ = 9,73 · 10-7 [Weber] y φ = 9,6 · 10-7 [Weber] según se utilice (1.7) y (1.9) respectivamente. Se puede observar que utilizando la expresión aproximada en lugar de la mas exacta, se comete un error...