Matias

CALCULO I
Departamento de Matem´tica
a
Universidad Nacional del Sur

Material elaborado por
• Estela Bianco
• Aldo V. Figallo
• Claudia Sanza
• Alicia N. Ziliani

Bah´ Blanca 1998
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Indice
1. Vectores del plano

1

1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. M´dulo de un vector . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
o

2

1.1.2. Direcci´n de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

3

1.1.3. Vectores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4. Vectores paralelos con el mismo sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.5. Igualdad de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

4

1.1.6. Puntos y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Producto de un n´mero real por un vector . . . . . . . . . . . . . . . . .
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71.2.3. Propiedades de las operaciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4. Otra propiedad importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Producto escalar de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Vectoresunitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3. Vectores perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4. Condici´n de perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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1.4. Bases y sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Componentes un vector en una base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.5. Producto escalar y bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.Rectas del plano

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1. Recta que pasa por un punto y es paralela a un vector . . . . . . . . . . 15
1.5.2. Ecuaci´n vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
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1.5.3. Ecuaciones param´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
e
1.5.4. Ecuaci´n sim´trica .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
o
e
1.5.5. Recta que pasa por dos puntos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Funciones reales de una variable

21

2.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2. El concepto de funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
o
2.1.3. Ecuaci´n de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
o
o
2.1.4. Dominio, rango e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.5. Composici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
2.1.6. Clasificaci´n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
o
2.1.7. Inversa de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
o
2.2. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. Sistemas de ejes coordenados de un plano

. . ....