Matrices Escalonadas Y Escalonadas Reducidas

Matrices escalonadas y escalonadas reducidas
Objetivos. Estudiar las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas. Comprender que importancia tienen estas matrices para sistemas de ecuaciones lineales. Demostrar que toda matriz se puede transformar en una matriz escalonada al aplicar operaciones elementales de filas.

Forma escalonada y escalonada reducida
1. Definici´n(matriz escalonada). Una matriz es escalonada por filas (o simplemente o escalonada) si cumple con las siguientes propiedades: 1. Todas las filas cero est´n en la parte inferior de la matriz. a 2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero est´ a la derecha del elemento a delantero diferente de cero de la fila anterior. 2. Definici´n de matriz escalonada en t´rminos de los n´ meros r y pi .Sea o e u A ∈ Mm,n (F). Usemos las siguientes notaciones: r := m´x{i : Ai,∗ = 0}; a pi := m´ ın{j ∈ Ai,j = 0} (i ∈ {1, . . . , m}, Ai,∗ = 0). La matriz A se llama escalonada por filas si cumple con las siguientes propiedades: 1. Ai,∗ = 0 para todo i ∈ {1, . . . , r}, Ai,∗ = 0 para todo i > r; 2. p1 < . . . < pr . 3. Definici´n (matriz escalonada reducida). Una matriz es escalonada reducida de o filas(o simplemente escalonada reducida) si cumple con las propiedades 1, 2 y la siguiente propiedad 3: Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos. En las notaciones de la definici´n anterior, o ∀i ∈ {2, . . . , r} ∀k ∈ {1, . . . , i − 1} Ak,pi = 0. 4. Nota. Si la matriz A es escalonada, sus elementos con ´ ındices (i, pi ), 1 ≤ i ≤ r, se llaman elementos pivotes.

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5.Ejemplos de matrices escalonadas.   3 −2 7 5 1  0 r = 3, A1,∗ = 0, A2,∗ = 0, A3,∗ = 0, A4,∗ = 0; 0 −4 7 9   ,  0  p1 = 1, p2 = 3, p3 = 4, p1 < p2 < p3 . 0 0 1 6 0 0 0 0 0   0 −3 1 5 r = 2, A1,∗ = 0, A2,∗ = 0, A3,∗ = 0;  0 0 2 0  p1 = 2, p2 = 3, p1 < p2 . 0 0 0 0 6. Ejemplos de matrices no escalonadas.   2 3 5 −1  0 0 0 0    r = 2, pero A2,∗ = 0.  0 −5 4 7  0 0 0 0   3 2 −5 4 0 1 3 4 , p2 = p3 = 2. 2 3 0 −5 7. Ejercicio. Determine, ¿cu´les de las siguientes matrices son a      0 3 0 0 3 −4 5 −2  0 0 0 0 ,  0 ,  0 7 8 0 0 0 0 0 0 −2 0 escalonadas?  0 3 5 0 1 4 . 3 0 0

8. Ejercicio. Describa de manera explicita todas matrices escalonadas reducidas 2.

Eliminaci´n de Gauss o
9. Proposici´n (eliminaci´n de Gauss). Toda matriz A ∈ Mm,n (F) se puede transoo formar en una matriz escalonada por filas al aplicar operaciones elementales de tipos Rp + = λRq con p > q y Rp ↔ Rq . Demostraci´n. Describamos el algoritmo que transforma la matriz dada A en una mao triz escalonada. Este algoritmo se llama eliminaci´n de Gauss. En el k-´simo paso del o e algoritmo supongamos que: i) las primeras k − 1 filas son no nulas; ii) los ´ ındices de los elementosdelanteros en estas filas cumplen con la propiedad p1 < p2 < . . . < pn , iii) Ai,pk−1 = 0 para todo i ≥ k.

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Consideremos dos casos. I. Todas las filas de A, a partir de la k-´sima, son nulas: Ai,j = 0 para todo i ∈ e {k, . . . , m} y todo j ∈ {1, . . . , n}. En este caso r = k − 1, y el algoritmo se termina. II. Hay por lo menos un elemento no nulo con ´ ındices i, j, i ≥ k. Sean q:= m´ ın{j ∈ {1, . . . , n} : ∃i ∈ {k, . . . , m} Ai,j = 0}, p := m´ ın{i ∈ {k, . . . , m} : Ai,q = 0}. La condici´n iii) garantiza que pk := q > pk−1 . Si p = k, apliquemos la operaci´n elemental o o Rk ↔ Rp . Despu´s de esta operaci´n, Ak,q = 0. e o Ai,q Usando las operaciones elementales Ri + = Ak,q Rk , eliminemos los elementos por debajo del elemento (k, q). Ahora la matriz cumple con laspropiedades i), ii), iii) con k en vez de k − 1. Continuando el proceso obtenemos una matriz escalonada. 10. Sustituci´n hacia atr´s en el m´todo de Gauss. Toda matriz escalonada de filas o a e se puede transformar en una matriz escalonada reducida de filas al aplicar operaciones elementales de forma Rq + = λRp , donde q < p. 11. Eliminaci´n de Guass-Jordan. En el k-´simo paso se eliminan no s´lo...