Matriz Asociada

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales

SUBTEMA: MATRICES ASOCIADAS A UNA TRANSFORMACIÓN
Problema 1: Sean P≤ 2 y P≤3 los espacios vectoriales de lo polinomios de grado menor o igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T : P≤ 2 → P≤3 la transformación definida por:
T ( p ( x)) = x ⋅ p( x)

(a) Determinar la matriz asociada con T . (b)Obtener la matriz asociada con T y referida a las bases:

A : {1 − x 2 ,1 + 3x + 2 x 2 ,5 + 4 x + 4 x 2 } y B : {1, x, x 2 , x3 }

(c) Con las matrices de los incisos anteriores calcular la imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 . SOLUCIÓN: (a) • Para obtener la matriz asociada con T , M (T ) , se calculan las imágenes de la base canónica del dominio P≤ 2 = a + bx + cx 2 a, b, c ∈ R . • Imágenes deBcanonica de P≤ 2 = {1, x, x 2 } :
T (1) = x T ( x) = x 2 T ( x 2 ) = x3

{

}

• Las imágenes anteriores escritas como columnas (aplicando isomorfismo) son las columnas de la matriz buscada:
⎡0 ⎢1 M (T ) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 1 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦

Matriz asociada con T

(b)

• La imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 se determina con la expresión T (v) = M (T ) ⋅ v , es decir, multiplicando:DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

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ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales
⎡0 ⎢1 T (v) = M (T ) ⋅ v = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 1 0 0⎤ ⎡0⎤ ⎥⎡ 1 ⎤ ⎢ 1 ⎥ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 5 = ⇒ T (1 + 5 x − x 2 ) = x + 5 x 2 − x3 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −1⎦

Imagen pedida (obtenida conM (T ) )

(c)

• Para determinar la matriz asociada con T y referida a las bases A y B , se calculan primero las imágenes de los vectores de la base A :
T (1 − x 2 ) = x − x3 = T (a1 ) T (1 + 3 x + 2 x 2 ) = x + 3 x 2 + 2 x 3 = T (a2 ) T (5 + 4 x + 4 x 2 ) = 5 x + 4 x 2 + 4 x3 = T (a3 )

• Se escriben a las imágenes anteriores como combinación lineal de los vectores de la base B , esdecir:
T (a1 ) = x − x 3 = α1 (1) + α 2 ( x) + α 3 ( x 2 ) + α 4 ( x 3 )

Igualando términos: - α1 = 0 ;

α2 x = x α2 = 1

;

α3 x = 0 x
2

2

α3 = 0

;

α4 x = −x
3

3

α 4 = −1

⎡0⎤ ⎢1⎥ ⎡T (a1 ) ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦B ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦ ⎡0⎤ ⎢1 ⎥ ⎡T (a2 ) ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦
⎡0⎤ ⎢5⎥ ⎡T (a3 ) ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B ⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎣4⎦

T (a2 ) = x + 3 x 2 + 2 x 3 = β1 + β 2 x + β 3 x 2 + β 4 x 3Igualando términos: β1 = 0 ;

β2 x = x β2 = 1

;

β3 x = 3x
2

2

β3 = 3

;

β4 x = 2x
3

3

β4 = 2

T (a3 ) = 5 x + 4 x 2 + 4 x 3 = γ 1 + γ 2 x + γ 3 x 2 + γ 4 x 3

Igualando términos: γ 1 = 0 ;

γ 2 x = 5x γ2 = 5

;

γ 3x = 4x
2

2

γ3 = 4

;

γ 4 x = 4x
3

3

γ4 = 4

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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Profra. Norma Patricia López Acosta

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Tema 3. Transformaciones Lineales
⎡0 ⎢1 A • Finalmente la matriz buscada es: M B (T ) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣ −1 0 0⎤ 1 5⎥ ⎥ 3 4⎥ ⎥ 2 4⎦

Matriz asociada con T y referida a las bases A y B

(d)

• La imagen del vector v = 1 + 5 x − x 2 se obtiene con la expresión:
A ⎡T (v) ⎤ = M B (T ) ⋅ (v) A ⎣ ⎦B

•Escribiendo a v = 1 + 5 x − x 2 como combinación lineal de la base A = {1 − x 2 ,1 + 3x + 2 x 2 ,5 + 4 x + 4 x 2 } , se tiene:
v = α(1 − x 2 ) + β(1 + 3x + 2 x 2 ) + γ (5 + 4 x + 4 x 2 ) 1 + 5 x − x 2 = (α + β + 5γ ) + (3β + 4λ ) x + (−α + 2β + 4γ ) x 2

• Igualando términos:

α + β + 5γ = 1 3β + 4γ = 5 −α + 2β + 4 γ = −1

• Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
⎛ 1 1 51 ⎞ (1) ⎛ 1 1 5 1 ⎞ ⎛1 1 5 1 ⎞ ⎛1 1 5 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∼ ⎜0 3 4 5 ⎟ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ ∼ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ (−1) ∼ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ ⎜ −1 2 4 − 1 ⎟ ⎜ 0 3 9 0⎟ ⎜ 0 0 5 −5 ⎟ (1/ 5) ⎜ 0 0 1 −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Se llega a:
5 − 4 γ 5 − 4(−1) α = 1 − β − 5γ α + β + 5γ = 1 β= = 3 3 3β + 4γ = 5 ; donde: y α = 1 − 3 − 5(−1) β=3 α=3 γ = −1

(v)

A

⎡3⎤ =⎢3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎣ ⎦

• Realizando la multiplicación:...