Matriz

Matriz
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.
Matrices
Una matriz es una tabla ordenada de escalares a× de la forma
| |a11 |a12 |... |a1n | |
| |a21 |a22 |... |a2n | |
| |... |... |... |... | || |am1 |am2 |... |a mn | |


La matriz anterior se denota también por (a×), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (a×).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m × n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de lasmismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:
|La siguiente matriz es una matriz de 2| |1 |-3 |4 | |
|x 3: | | | | | |
| | |0 |5 |-2 | |


 
|do| |1 |  |, | |
|nd| | | | | |
|e | | | | | |
|su| | | | | |
|s | | | | | |
|fi| | | || |
|la| | | | | |
|s | | | | | |
|so| | | | | |
|n | | | | | |
|(1| | | | | |
|, | | | | | |
|-3| | | | | |
|, | | | | | |
|4)| | | | | |
|y | | | | | |
|(0| | | | | |
|, | | | | | |
|5,| | | | | |
|-2| | | | | ||) | | | | | |
|y | | | | | |
|su| | | | | |
|s | | | | | |
|co| | | | | |
|lu| | | | | |
|mn| | | | | |
|as| | | | | |
| | |4 |0 |5 | |
| | |3 |-1 |2 | |


 
|B | |2 |-3 | |
|= | | | | |
| | |-1 |5 | |


Entonces, A y B son matrices cuadradas deorden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (a×) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Paracualquier matriz A,
A· I = I · A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
[pic]
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas nodiagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d11, d22, ..., dnn). Por ejemplo,
[pic]
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de
|A | |3 |-1 |4| |
|= | | | | | |
| | |2 |5 |-7 | |
| | |4 |0 |9 | |


es
|AT | |3 |2 |4 | |
|= | | | | | |
| | |-1 |5 |0 | |
| | |4 |-7 |9 | |


En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m x n, entonces AT = (aTij) es la matriz n x´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BT AT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = - A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
|A | |2 |-3 |5 | |
|= | | | | | |
| | |-3 |6 |7 | |
| | |5 |7 |-8 | |


 
|B | |0 |3 |-4 | |
|= | | |...