Matriz
Matriz :- Listas y tablas numéricas. Las matrices se emplean para almacenar
información, para describir relaciones, para el estudio de sistemas de
ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en Economía, Sociología, Psicología,
Estadística, Geometría,...
0.1.DEFINICIONES BÁSICAS
Matriz de orden m x n
Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma deuna
tabla de m filas y n columnas. Se simboliza en las formas:
a11 a12 a1n
a
a22 a2 n
21
,
A
am1 am 2 amn
A c1, c2 ,..., cn ,
ó
ó
A aij mn
f1
A
f m
Siendo:
a ij : el término situado en la fila i y columna j,
cj : vector-columna formado por los elementos de la columna j
(j = 1, 2, ..., n)
fi :vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., m)
Matrices cuadradas
Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de
columnas m = n. Los elementos a11, a22 ,.., ann forman la diagonal
principal. La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina
TRAZA de la matriz.
1
Traz A a11 a22 .... ann
Las matrices cuadradas quetengan nulos los elementos que quedan a uno de
los lados de la diagonal principal se denominan matrices triangulares.
Matriz diagonal: la que tiene nulos todos los elementos que no están en la
diagonal principal.
a11 a12 a1n
0
a22 a2 n
A
0
ann
0
a11 0 0
a
a22 0
21
A
an1 an 2 ann
Triangularsuperior
Triangular inferior
a11 0 0
0
a22 0
A
0
0
a
nn
Diagonal
Las matrices de orden 1 x n y las de orden m x 1 se denominan,
respectivamente, matriz fila y matriz columna.
Matriz Identidad o Matriz unidad. Es aquella matriz diagonal que tiene
sólo “unos” en la diagonal principal.
1
0
I
0
0
1
0
0
0
1
2
0.2.OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
Cuando los elementos de la matriz son números reales:
SUMA DE MATRICES
Suma de dos matrices del mismo orden: es la matriz que resulta al sumar
los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas.
Cmn Amn Bmn
Sumándose elemento a elemento:
cij aij bij
El conjunto de matrices M mn de un mismo orden tiene estructura degrupo
abeliano o conmutativo respecto a la suma matricial, cumpliéndose las siguientes
propiedades:
1. Asociativa:
2. Conmutativa:
A + (B + C) = ( A + B ) + C
A+B=B+A
_
3. Elemento neutro:
A+ 0 = A
_
4. Elemento opuesto:
A + (-A) = 0
_
Siendo A, B, y C matrices del mismo orden y 0 la matriz nula (cuando todos los
elementos son iguales a cero).
PRODUCTO DE NÚMERO REAL PORMATRIZ
El producto de un número real (k) por matriz A = (aij) es la matriz que resulta al
multiplicar el escalar por cada uno de los elementos de la matriz.
k A B / A, B M mn y k R
Siendo:
bij k aij
3
0.3.PRODUCTO DE MATRICES
El producto de una matriz A de orden m x n, por otra matriz B de orden n x p, es
la matriz C, de orden m x p, cuyo elemento genérico cij es elresultado de sumar
los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B.
Amn Bn p Cm p / cij ai1 b1 j ai 2 b2 j ... ain bnj
Propiedades:
1. Asociativa:
A ( B C ) ( A B) C
2. Distributivas:
A (B C) A B A C
y también: ( A B) C A C B C
A1 A A A1 I (ojo, no siempre existe)1.
4. No cumple laConmutativa: A B B A
3. Elemento Simétrico:
0.4. TRANSPOSICIÓN MATRICIAL
Transpuesta de una matriz A, de orden m x n, es la matriz At, de orden n x m,
cuyas filas son las columnas de A.
A M mn Transposic
ión
At M nm
Ejemplo:
1 2
1 3 0
A
At 3 1
2 1 5
0 5
Si la matriz A es cuadrada y además aij a ji , la matriz A...
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