Maximos y minimos

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TALLER Nº 4

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

OBJETIVOS:

• Aplicar los criterios de la primera y segunda derivada para hallar los puntos máximos y mínimos de una función dada.

• Aplicar los criterios de la primera y segunda derivada para graficar funciones.

• Aplicar el concepto de derivada para resolver problemas de optimización.

INTRODUCCIÓN:

Entre las muchas aplicaciones de laderivada encontramos su importancia en la solución de problemas de Economía, tales como: maximización de utilidad, costo marginal, ingreso marginal, etc. En este taller, además aplicaremos la derivada para hallar los extremos relativos de una función y su respectiva gráfica.
A continuación se plantean una serie de ejercicios de mecanización de máximos y mínimos relativos y problemas.

INFORMACIÓNBÁSICA:

Funciones crecientes y decrecientes:

Una función f se dice creciente en un intervalo (a, b) si para todo par de números x1, x2 en el intervalo, x1 < x2 implica que f (x1) < f (x2).

Una función f se dice decreciente en un intervalo (a, b) si para todo par de números x1, x2 en el intervalo, x1 < x2 implica que f (x1) > f (x2).

yy = f (x)
f (x2) y = f (x)

f (x1)
f (x1) creciente decreciente
f (x2)

a x1x2 b x a x1 x2 b x

El valor de la función derivada f´(x), se representa geométricamente por la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x, y).
Criterio de la primera derivada para funciones crecientes o decrecientes:

Sea f una función derivable en el intervalo (a, b).

1. Si f ‘(x) > 0 para todo xen (a, b), entonces, f es creciente en (a, b).

2. Si f ‘(x) < 0 para todo x en (a, b), entonces, f es decreciente en (a, b).

3. Si f ‘(x) = 0 para todo x en (a, b), entonces, f ni crece ni decrece y los valores de x se denominan valores críticos o valores extremos de la función.

y yf ’(x) > 0
f´(x) < 0 f ’(x) < 0
f ’(x) > 0
decrece crece

x x
cf ’(c) = 0 c
f ’ (c) no está definida

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se pueden obtener dándole valores a la variable independiente, un poco menores o mayores que cada valor crítico, para determinar el signo de la derivada.
Lasiguiente tabla resume lo que ocurre en cada intervalo donde f es creciente o decreciente:

|Intervalo | | |
|Valor prueba | | |
|Signo de f ‘ (x) | | |
|Conclusión | ||

Ejemplos:

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la curva definida por la ecuación dada y hacer un gráfico aproximado de ella.

a) y = 2x 3 + 3x 2 – 12x

Solución: Se deriva la función y se iguala a 0 para buscar los puntos críticos.

[pic], factorizando, [pic].
Si [pic], entonces, 6(x + 2) (x – 1) = 0, de donde, x = –2 ó x = 1.
Los...
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