maximos y minimos

MAXIMOS Y MINIMOS


En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera másgeneral, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayores y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.


Extremos relativos o locales


Sea, sea  y sea  un punto perteneciente a la función.
 
Se dice que  es un máximo local de  si existe un entorno reducido decentro , en símbolos , donde para todo elemento  de  se cumple . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse.

Análogamente se dice que el punto  es un mínimo local de  si existe un entorno reducido de centro, en símbolos, donde para todo elemento  de  se cumple.

Extremos absolutos
Sea, sea  y sea  un punto perteneciente a la función.
 
Se dice que P es un máximoabsoluto de f si, para todo x distinto de  perteneciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de . Esto es:
 Máximo absoluto de .
 
Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de  perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de . Esto es:
 mínimo absoluto de .
[editar]Cálculo de extremos locales
Dada una función suficientemente derivable,definida en un intervalo abierto de , el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:
1. Se halla la primera derivada de 
2. Se halla la segunda derivada de 
3. Se iguala la primera derivada a 0: 
4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: .
5. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable independiente en lafunción.
6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada :
1. Si , se tiene un máximo en el punto .
2. Si , se tiene un mínimo en el punto .
3. Si , debemos sustituir  en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que  no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
1. Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si  y un mínimo si 2. Si la derivada no es par, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.
Ejemplo
Sea.
Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.  
Dada la función, se tiene que:



Extremos:

 existe un máximo en .
 existe un mínimo en .
Puntos de inflexión
.
 existe un punto de inflexión en .
Extremos condicionados
Un problema de extremos condicionados consiste en buscarun extremo de una función no sobre cualquier punto de su dominio sino sobre un subconjunto del dominio de la función que puede expresarse como variedad diferenciable. Más concretamente consiste en encontrar un máximo (o un mínimo) sujeto a la condición de que el punto donde se produce pertenezca a un cierto conjunto:

Este tipo de problemas aparece en numerosas aplicaciones prácticas tanto enciencias físicas como incluso en economía. Para resolver este tipo de problemas se usa el método de los multiplicadores de Lagrange.



Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposiblesu solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque...