Maximos y Minimos

M Á X I M O S Y M Í N I M O S


En las aplicaciones de las matemáticas, con una función puede simbolizarse un criterio de decisión. Así, una función puede representar utilidades, ingresos,costos, etc., expresados en función de una variable que se encuentra, por lo menos en parte, bajo el control del que toma la decisión.

Por ejemplo, las utilidades pueden expresarse en función deldinero destinado a la publicidad. Si el que adopta la decisión está en condiciones de determinar, dentro de ciertos límites, cuanto gastar en publicidad, una meta podría ser calcular esa cantidad en unaforma que maximice las utilidades.






U
T
I
L
I
D
A
D

P U B L I C I D A D ( $ )








PUNTOS CRÍTICOS

Es un número c tal que f´(c) = 0. Paraencontrar los puntos críticos se calcula la derivada de la función y la igualamos a cero para resolver la ecuación resultante.

EJEMPLO 1
Calcular los puntos críticos de la función f(x) = 2x2 – 12x –10Primero calculamos la derivada de la función.
f´(x) = 4x - 12
Segundo igualamos a cero y resolvemos la ecuación.
4x – 12 = 0
4x = 12
x = 12/4
x = 3

EJEMPLO 2
Calcular los puntos críticosde la función f(x) = x3/3– x2/2 –6x + 100
Primero calculamos la derivada de la función.
f´(x) = x2 – x -6
Segundo igualamos a cero y resolvemos la ecuación.
x2 – x – 6 = 0
x = 3, x = -2(resolver por la fórmula general)


PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS

1. Se encuentran todos los valores críticos X*.
2. Para todos los valores críticos calcular f´(X) a la izquierda(Xl) y a la derecha (Xr) de X*.
a) Si f´( Xl) > 0 y f´( Xr) < 0 habrá un máximo relativo.
b) Si f´( Xl) < 0 y f´( Xr) > 0 habrá un mínimo relativo.
c) Si tienen el mismo signo hay un punto deinflexión.
EJEMPLO 3
Encontrar los extremos relativos de la función f(x) = 2x2 – 12x –10
Primero encontramos los puntos críticos.
x = 3
Segundo evaluamos a la izquierda y a la derecha del punto...