Mayador para el metodo de elementos de contorno

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1. RESUMEN

En este trabajo se desarrollará e implementará un algoritmo para la generación automática de redes.

Una red (mesh) es una discretización matemática de la geometría de cualquier objeto. Esta puede representar una, dos o tres dimensiones, en este caso será aplicable a dos dimensiones. Estas redes se utilizan para aplicarles métodos numéricos de solución aproximada. Eneste caso las redes generadas se corresponden con el método de elementos de contorno, permitiendo resolver problemas ingenieriles, ya sean de tensiones o deformaciones.

Toda geometría se pretende aproximar mediante el uso de líneas rectas, arcos de circunferencias, arcos de elipse y splines.

Algunas de las herramientas del Análisis Numérico que se utilizarán son:

•Conceptos de resolución de ecuaciones diferenciales.
• Integración numérica.
• Métodos para aproximar raíces.
• Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.
• Métodos de aproximación de funciones.

2. INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO

En las últimas décadas, el método de elementos de contorno (BEM) ha captado la atención de granparte de la comunidad científica, convirtiéndose en un importante método de análisis computacional para una gran cantidad de problemas físicos. En común con los más conocidos método de elementos finitos (FEM) y método de diferencias finitas (FDM), el método de elementos de contorno es esencialmente un método para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden, y puede serutilizado únicamente cuando el problema físico puede ser expresado de dicha manera.

El método de elementos de contorno se formula como la discretización de ecuación integral, que es matemáticamente equivalente a la ecuación diferencial en derivadas parciales original, definida en el contorno del dominio y una integral que relaciona la solución en el contorno con la solución en los puntosinternos del dominio.

Las ventajas de este método radican en el hecho de que solamente se debe subdividir el contorno del dominio, donde se calcula la solución (en los métodos de elementos de contorno y de diferencias finitas todo el dominio requiere discretización). Así las dimensiones del problema es efectivamente reducidas en una, por ejemplo una ecuación que gobierna una región tridimensionales transformada dentro del campo de las superficies.

El sistema de ecuaciones del método de elementos de contorno discretizado en dos dimensiones es:

Figura 1 Ilustración de la discretización en el nodo i a lo largo del elemento Γj.

Donde se asume que la frontera Γ del cuerpo está dividida en N segmentos o elementos como muestra la figura2. Los puntos de la frontera donde se desea conocer el valor de tensión o deformación se denominan ‘nodos’. El punto i es uno de los nodos de la frontera.

Si los elementos poseen un único nodo (figura 2.a), este se ubicará en la mitad de los mismos y se dice que son elementos constantes, si poseen dos nodos (figura 2.b), estos se ubicarán en los extremos de los mismos y se dice que sonelementos lineales y si los elementos poseen tres nodos (figura 2.c), estos se ubicarán uno en la mitad y los otros dos en los extremos de los mismos y se dice que son elementos cuadráticos. Existen elementos que poseen más de tres nodos pero estos son raramente utilizados en la práctica, por lo tanto se utilizarán elementos cuadráticos para la aproximación de la geometría de los objetos.Figura 2 Diferentes tipos de elementos de contorno.

3. ASPECTOS TEÓRICOS DE LA RESOLUCIÓN

1. SPLINES CÚBICOS

Dada una función definida en [a,b] y un conjunto de números, llamados los nodos,
a = x0 < x1 < . . . < xn = b , un polinomio interpolante cúbico spline, S, para f es una función que satisface las siguientes condiciones:

a) S es...
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