MD 2011 clase3 1

Clase 3: Teorema de Fundamental de la Aritm´etica
Dr. Daniel A. Jaume,*
12 de agosto de 2011

1.

Primos

Definici´
on 1.1 Un entero positivo p se dice que es un n´
umero primo si
tiene exactamente 2 divisores positivos distintos. Los cuales resultan ser 1 y
el mismo p.
De la definici´
on anterior se desprende que 1 no es primo. Los primeros
25 primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Existen 455042511 n´
umeros primos menores que 10.000.000.000, seg´
un
consta en la p´
agina web: http://www.prime-numbers.org/
Los primos son los ladrillos con los que se construye (multiplicativamente) a los naturales.
Un n´
umero natural mayor que uno que no es primo se dice que es compuesto. Por ejemplo, 6 = 2 × 3 por lo que 6 no es primo,y por lo tanto 6 es
un n´
umero compuesto.
Ejercicio 1.2 Demostrar que todo n´
umero compuesto tiene divisores positivos menores que ´el mismo, pero mayores que 1: Si n ∈ N es compuesto,
entonces existe d ∈ N tal que d|n y 1 < d < n.
Proposici´
on 1.3 Sea n es un n´
umero compuesto. Si n = d1 d2 y 0 ≤ d1 ≤
√
d2 , entonces d1 ≤ n.
Ejercicio 1.4 Demostrar la proposici´
on anterior.
*

Departmentode Matem´
aticas, Facultad de Ciencias F´ısico-Matem´
aticas y Naturales,
Universidad Nacional de San Luis, Ej´ercito de los Andes 950, 5700 San Luis, Argentina.
E-mail de la Materia: mat.discretas.2011@gmail.com
facebook de la Materia: MatDiscreta UNSL
twitter: MatDiscreta2011
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buscarla como Matem´
atica Discreta, 2do cuatrimestre, 2011

1

Comouna primera aproximaci´on al teorema fundamental de la aritm´etica,
tenemos el siguiente resultado
Teorema 1.5 Todo n´
umero compuesto es divisible por alg´
un n´
umero primo.
Demostraci´
on Sea a un n´
umero compuesto. Definamos el siguiente subcojunto de los enteros positivos:
S = {x ∈ N :

x > 1 y x|a}

Claramente S = ∅ (pues |a| ∈ S). Por el principio del buen orden, S tiene
elemento m´ınimo,llam´emosle p.
Veamos que p no puede ser compuesto. Si p fuera compuesto tendr´ıa
un divisor c mayor que 1 y menor que p, pero por la transitividad de la
divisibilidad c|a, luego c ∈ S, lo cual contradice que p sea el m´ınimo de S.
Por lo tanto p no puede se compuesto, entonces p es primo.
El siguiente lema es de suma importancia:
Lema 1.6 (de Eucl´ıdes) Sean a y b enteros. Si p es un primo yp|ab,
entonces p|a o p|b
Recordemos que esto es falso si p no es primo: 12 = 3 × 4 y 6|12 pero ni
6 divide 3, ni 6 divides a 4 (6 3 y 6 4).
Demostraci´
on Ya hemos probado que si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c
(corolario 3.4 de la clase 2). El lema que queremos probar es consecuencia
del resultado citado.
Tenemos dos casos: o p|b, en cuyo caso el lema ya estar´ıa probado, o
p b, en cuyo caso tenemosque b y p son coprimos: (b, p) = 1 (¿Por qu´e?),
y como p|ab, por el corolario 3.4 de la clase 2, tenemos que p|a.
Ejercicio 1.7 (Lema de Eucl´ıdes generalizado) Probar por inducci´
on:
Si p es un n´
umero primo que divide al producto a1 a2 · · · · · an , entonces p
debe dividir uno de los factores ai .
Lema 1.8 Sean p1 , . . . , pn y q1 , . . . , qm n´
umeros primos. Si p1 · · · pn = q1 · · · qm,
entonces p1 = qj para alg´
un j ∈ {1, . . . , m}.
Demostraci´
on Por la generalizaci´on del lema de Eucl´ıdes (ver ejercicio
1.7) sabemos que si un primo devide un producto de m n´
umeros debe dividir
alguno de los factores. Como
p 1 · · · p n = q1 · · · qm
tenemos que p1 |q1 · · · qm , por lo que debe existir j ∈ {1, . . . , m} tal que p1 |qj .
Ahora qj es primo, y como tal s´olo es divisiblepor 1 y por el mismo, como
p1 = 1 tenemos que p1 = qj .
2

Destacamos que en el transcurso de la demostraci´on anterior dedujimos
la siguiente propiedad: si p y q son primos y p|q, entonces p = q.
Moraleja: las demostraciones suelen ser cumplidoras, dan m´as de lo que
se les pide.
Ejercicio 1.9 Demostrar la siguiente afirmaci´
on: Dado k ≥ 2, tomar a, b1 , b2 , . . . , bk
enteros. Si (a, bi ) =...