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TEOREMA 1 (TEOREMA DE ROLLE)
Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:
i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
ii. f es derivable en el intervaloabierto (a, b). iii. f (a) = f (b) = 0.
Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b) tal que: ( ) 0 . 'f c = 0
El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es unageneralización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio para derivadas.
Se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b], f (a) =f (b) = 0 y además existe (no tiene picos) en todos los puntos del intervalo (a, b).


Intuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva, de abscisa c entre a y b, en elcual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela el eje x). Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle que se enuncia sin demostración.

TEOREMA DEVALOR MEDIO

Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:
i. f es contínua en el intervalo cerrado [a, b].
ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b) tal que:

Antes de ver la demostración del teorema, analice su significado geométrico. Se muestra la gráfica de una función que satisface lashipótesis del Teorema de Valor Medio



El término [f (b) − f (a)] / (b − a) es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretargeométricamente el teorema así: Existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a, b) tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente es ( ) , es paralela a la recta secante 'f(c) AB
Demostración:Usando la forma: dos – puntos de la ecuación de la recta, se deduce para la recta secante,
la ecuación donde:














El teorema de Rolle dice que:
Si f es una...