Mecanica Racional

Universidad Autónoma de Santo Domingo (UASD).
Facultad de ingeniería y Arq.

Asignatura mecánica racional 1 (civ2010)


Santo Domingo de Guzmán, D.N.

Ejes principales de inercia Momento de inercia circulo de mohr.

Numéricamente (ecuaciones, círculo de mohr)

La resultante de las fuerzas de gravedad de las partículas de un cuerpo se llama fuerza de gravedad delcuerpo; el módulo de esta fuerza se llama peso del cuerpo.
El centro de gravedad de un cuerpo es un punto invariablemente relacionado con este cuerpo, a través del cual pasa la línea de acción del peso de éste. Las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo respecto a todo sistema de coordenadas fijase pueden hallar, si se conocen las coordenadas de todas las partículas del cuerpo respecto aeste sistema. Para ello es preciso aplicar la condición siguiente: el momento de la fuerza de gravedad de todo el cuerpo respecto a un eje cualquiera debe ser igual a la suma de los momentos de la fuerza de gravedad de todas las partículas del cuerpo respecto a ese mismo eje

Para un cuerpo con una distribución continua de la masa, su peso total es
Y las ecuaciones anteriores adquieren elsiguiente aspecto:

Transformemos las ecuaciones que determinan las coordenadas del centro de gravedad en una forma que contenga la masa del cuerpo o sistema. La masa de un sistema es igual a la sumaaritm ética de las masas de todos los puntos o de todos los cuerpos que lo componen:

En un campo de gravedad homogéneo, para el cual g es constante el peso de cualquier partícula del cuerpo esproporcional a su masa, y para todo el cuerpo
de lo cual resulta.

El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje contenido en su plano, se define como la suma de los productos de las áreas elementales y los cuadrados de sus distancias a este eje.

 Teorema de los ejes paralelos:
el momento de inercia de un área con respecto a un eje cual quiera es igual al momento de inercia de lamisma con respecto a un eje paralelo al primero y que pasa por su centroide, más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.

Centroide
Para un cuerpo homogéneo el peso de cualquier parte de éste es proporcional al volumen de esta parte El peso P de todo el cuerpo es proporcional al volumen V donde Y es el peso especifico del cuerpo.

Sustituyendo estasrelaciones en las ecuaciones del centro de gravedad, se obtiene:

En la práctica a menudo se requiere determinar la localización del centroide de figuras planas, en cuyo caso las ecuaciones correspondientes adquieren la siguiente forma:

Como se observa, el centro de gravedad de un cuerpo homogéneo depende solamente de su forma geométrica, y es independiente de la magnitud Por esta razón, el punto C,cuyas coordenadas se determinan por las ecuaciones anteriores, se llama
Centroide o centro geométrico del volumen V 

El punto geométrico, cuyas coordenadas se determinan por estas ecuaciones, se llama centro de masas o centro de inercia del cuerpo o sistema. Si se considera una distribución continua de la masa en todo el volumen del cuerpo o sistema

El área S de la misma se obtienemediante la expresión:

S = ʃs dS
Siendo dS un elemento diferencial de area, con coordenadas y y z respecto a un sistema de coordenadas arbitrario, con origen en O, como el mostrado en la Figura A.1. Los momentos estáticos del área con respecto a los ejes y y z, se definen como:

Qy | = | ʃS | zdS | |
Qz | = | ʃS | ydS | |

Los momentos estáticos pueden ser positivos o negativos,dependiendo de la posición de los ejes y y z. Su ecuación de dimensiones es L3. La obtención de las coordenadas (yC ; zC ) del centroide es inmediata a partir de los momentos estáticos, mediante las expresiones
Las coordenadas pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la posición de los ejes y y z.Si un area es simetrica respecto a un eje, el centro de gravedad debe encontrarse sobre ese eje,...