Medida

Apuntes de la Teor´ de la Medida ıa
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Herbert A. Medina
Profesor de Matem´ticas a Loyola Marymount University Los Angeles, California, EEUU

Herbert A. Medina
Profesor de Matem´ticas a Loyola Marymount University Los Angeles, California, EEUU

Apuntes de la Teora de la Medida 

San Salvador, El Salvador

Prefacio
Un carpintero sin sierra elctrica puede trabajar, perocon muchas di cultades. e Habrn muchos trabajos que no podr aceptar porque carece de equipo adecuado. a a Un matemtico sin el conocimiento de los elementos fundamentales de la teor a a de la medida puede trabajar, pero con muchas di cultades. Habrn muchos a problemas en los cuales no podr trabajar porque carece de tcnicas y teoremas a e adecuados. La teor de la medida es la \sierraelctrica" del anlisis moderno. a e a Apuntes de la Teor de la Medida es el resultado de un cursillo que se a realiz en la Escuela de Ciencias Naturales y Matemticas de la Universidad de El o a Salvador (UES) en julio de 1995. Ese curso y estos apuntes fueron dise~ados para n estudiantes y profesores de matemticas quienes tienen un buen conocimiento a de los conceptos y tcnicas fundamentales delanlisis clsico. El lector ideal es e a a el estudiante de matemticas de ultimo a~o de licenciatura o de primer a~o de a  n n maestr Estos Apuntes estn escritos con ms detalles de lo que se acostumbra a. a a en textos de matemticas. Esto se hizo para que el lector que estudia teor de a a la medida sin la ayuda de un profesor lo pueda hacer sin mucha referencia a otros textos. Los Apunteshan prestado mucho de los libros de Royden [R] y Folland [F], los textos que utiliz cuando aprend el tpico. e  o Los Apuntes no se hubieran escrito sin la ayuda y apoyo de varias personas. Los profesores Mart Enrique Guerra Cceres, Jos Nerys Funes y F. Javier n a e Mart Ortiz leyeron borradores e hicieron muchos comentarios que mejoraron el n producto nal. Aracelia Fernndez, miestudiante y asistente en Loyola Marya mount University, hiz cambios al expediente de que contiene el documento. o Deseo disculparme por todos los errores gramticos, ortogr cos y estil a a sticos que existen en este documento. Casi toda mi educacin formal ha sido en o ingls, y ste es el primer documento de matemticas que he escrito en espa~ol. e e a n Tambin me disculpo por cualquier errormatemtico que exista en estos Apuntes. e a Ellos son completamente mi responsabilidad. Le pido al lector que encuentre errores que por favor me los comunique por correo electrnico a la direccin o o hmedina@lmu.edu o correo convencional a la direccin Mathematics Department, o Loyola Marymount University, 1 LMU Drive, Los Angeles, CA 90045-2659, USA.
Herbert A. Medina Loyola Marymount University,Los Angeles

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Indice
Cap´ ıtulo 1. La Medida de Lebesgue en la Recta Real 1.1. Introducci´n o 1.2. Medida Exterior 1.3. Conjuntos Medibles y la Medida de Lebesgue 1.4. Dos Ejemplos 1.5. Funciones Medibles Cap´ ıtulo 2. La Integral de Lebesgue 2.1. Repaso de la Integral de Riemann 2.2. La Integral Sobre un Conjunto de Medida Finita 2.3. La Integral de una Funci´n No Negativa o 2.4. La IntegralGeneral de Lebesgue Cap´ ıtulo 3. Medidas Generales 3.1. Medidas y Funciones Medibles 3.2. Construcci´n de Medidas o 3.3. Integraci´n o 3.4. Medidas con Signo 3.5. El Teorema Radon-Nikodym 3.6. Medidas Producto Cap´ ıtulo 4. Los Espacios Lp 4.1. Definiciones y Propiedades B´sicas a 4.2. Estructuras B´sicas del An´lisis Funcional a a p son Espacios de Banach 4.3. Los Espacios L Bibliograf´ ıa 1 1 2 512 13 19 19 20 26 30 35 35 39 43 48 52 56 64 64 71 78 83

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Cap´ ıtulo 1

La Medida de Lebesgue en la Recta Real
1.1. Introducci´n o El concepto de medida es una extensi´n del concepto de longitud. En el o estudio de an´lisis real se hace necesario poder definir la “longitud” de cona juntos de n´meros reales complicados. Por ejemplo, la longitud del intervalo u 1 3 1 [ 2 , 4 ] = 4 , pero ¿c´al...