medidas de dispersion


Medidas de Dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión se clasifican en:
Desviación Media
Varianza
Desviación Típica


Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18







Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:


Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:

 
xi
fi
xi · fi
|x - x|
|x - x| · fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
9.286
27.858
[15, 20)17.5
5
87.5
4.286
21.43
[20, 25)
22.5
7
157.5
0.714
4.998
[25, 30)
27.5
4
110
5.714
22.856
[30, 35)
32.5
2
65
10.714
21.428
 
 
21
457.5
 
98.57





Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados



Parasimplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados


Ejercicios de varianza
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18




Calcular la varianza de la distribución de la tabla

 
xi
fi
xi · fi
xi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
 
 
42
1 820
88 050






Propiedades de la varianza
 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
Si todoslos valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.
Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.


Observaciones sobre la varianza
 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
En los casos que no sepueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.





Desviación típica
Es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por σ.Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados


Ejercicios de desviación típica
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18


Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
 
xi
fi
xi · fixi2 · fi
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60)
55
8
440
24 200
[60,70)
65
4
260
16 900
[70, 80)
75
2
150
11 250
 
 
42
1 820
88 050








Propiedades de la desviación típica
 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica o varía.
Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.
Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.
Si todas las muestras tienen el...