Metodo de Newton










1) Un polinomio de variable compleja viene dado por:



El polinomio se puede expresar mediante su parte real y su parte imaginaria haciendo , así:


A partir del teorema fundamental del álgebra se puede concluir que un polinomio de grado tiene exactamente raíces en el campo de los complejos. Las raíces se calculan resolviendo el sistema de ecuaciones no lineales:Con base en lo presentado, dado el polinomio de tercer grado:



a) Exprese el polinomio mediante su parte real y su parte imaginaria.
b) Represente gráficamente el sistema
c) Determine las tres raíces por el método de Newton.
d) Halle las raíces de manera directa usando y compare.

Sln.

a. z = (x+jy)
P(x+jy) = (2+j3)(x+jy)³-j2(x+jy)²-j3(x+jy)-3-j6
P(x+jy) =(2+j3)(x³++3x²jy+3xj²y²+j³y³)-2j(x²+2jxy+j²y²)-j3(x+jy)-3-j6
P(x+jy) = 2x³+6jx²y+6j²xy²+2j³y³+x³j3+9x²j²y+9j³xy²+3j²j²y³-2jx²-4xj²y-2j³y²+3jx+3j²y-3-6j
P(x+jy) = (2x³-9x²y+4xy-6xy²-3y+3y³-3)+j(3x³+6x²y-2x²+3x-9jxy²+2y²-2y³-6)

b. Utilizando un programa para representar dos relaciones en la misma figura,

>> Grafica
abscisainicial=-4
abscisainfinal=4
ordenadainicial=-4
ordenadainfinal=4
entre lafuncion F(x,y)='(2*x^3)-(9*x^2*y)+(4*x*y)-(6*x*y^2)-(3*y)+(3*y^3)-3'
entre la funcion G(x,y)='(3*x^3)+(6*x^2*y)-(2*x^2)+(3*x)-(9*x*y^2)+(2*y^2)-(2*y^3)-6'




c. Utilizando el programa para encontrar la solución a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de newton,

Para la primera raíz:

>> Newton2x2
numero de iteraciones= 6
semilla x= -1
semilla y= 1
entreF(x,y)='(2*x^3)-(9*x^2*y)+(4*x*y)-(6*x*y^2)-(3*y)+(3*y^3)-3'
entre G(x,y)='(3*x^3)+(6*x^2*y)-(2*x^2)+(3*x)-(9*x*y^2)+(2*y^2)-(2*y^3)-6'

ans =

-1.0000 1.0000
-0.4715 1.0747
-0.4125 1.4041
-0.4633 1.3448
-0.4679 1.3467
-0.4679 1.3467

Raíz1 = -0.4679+j1.3467


Para la segunda raíz:
>> Newton2x2
numero de iteraciones=6
semilla x= -1
semilla y= -1.5
entre F(x,y)='(2*x^3)-(9*x^2*y)+(4*x*y)-(6*x*y^2)-(3*y)+(3*y^3)-3'
entre G(x,y)='(3*x^3)+(6*x^2*y)-(2*x^2)+(3*x)-(9*x*y^2)+(2*y^2)-(2*y^3)-6'

ans =

-1.0000 -1.5000
-0.5685 -1.1436
-0.3188 -1.0431
-0.2559 -1.0657
-0.2568 -1.0694
-0.2568 -1.0694

Raíz2 = -0.2568-j1.0694

Para la tercera raíz:>> Newton2x2
numero de iteraciones= 6
semilla x= 1
semilla y= 0
entre F(x,y)='(2*x^3)-(9*x^2*y)+(4*x*y)-(6*x*y^2)-(3*y)+(3*y^3)-3'
entre G(x,y)='(3*x^3)+(6*x^2*y)-(2*x^2)+(3*x)-(9*x*y^2)+(2*y^2)-(2*y^3)-6'

ans =

1.0000 0
1.2200 0.0400
1.1870 0.0308
1.1862 0.0304
1.1862 0.0304
1.1862 0.0304

Raíz3 = 1.1862+j0.0304Evaluando directamente:

>>P = [2+i*3,-i*2,i*3,-3-i*6];
>>roots (P)

ans =

-0.4679 + 1.3467i
1.1862 + 0.0304i
-0.2568 - 1.0694i



2) Considere el sistema de ecuaciones:

a) Elimine la variable y represente gráficamente el sistema resultante.
b) Determine todas las raíces usando el método de Gauss-Seidel
c) Determine todas las raíces por el método de Newton

Sln.a. E1 = x²+y+z = 1, de E1 z = 1- x²-y
E2 = x+y²-z = 2, de E2 z = x+y²-2
E3 = x-y+z² = 4, de E3 z² = 4-x+y
Igualando de E1 y de E2; 1- x²-y = x+y²-2, E4 = x²+x+y²+y-3=0.
Igualando de E3 y el cuadrado de E1;
4-x+y = (1- x²-y)², E5 = 4-x+y-(1- x²-y)² = 0.

Utilizando un programa para representar dos relaciones en la misma figura,
>> Grafica
abscisainicial=-4
abscisainfinal=4ordenadainicial=-4
ordenadainfinal=4
entre la funcion F(x,y)='x^2+x+y^2+y-3'
entre la funcion G(x,y)='4-x+y-(1-x^2-y)²'

b. Utilizando el programa de Gauss-Seidel para hallar la solución de un sistema de orden 3.

Para la primera raíz:
>> GaussSeidel
numero de iteraciones=7
g1(y,z)='-(sqrt(1-y-z))'
g2(x,z)='-(sqrt(2-x+z))'
g3(x,y)='-(sqrt(4-x+y))'
xinicial=-2.5...