Metodo de newton

2.3.2 Método de Newton – Raphson

Este método se puede obtener mediante el siguiente gráfico:



Si el valor inicial de la raíz es xi , podemos trazar una tangente desde el punto { xi, f(xi)}.
El punto donde está tangente cruza el eje x, representa una aproximación de la raíz.
De la figura la primera derivada es x , es equivalente a la pendiente.

f´(x) = f(xi) – 0
xi -xi + 1

Reordenando:

Xi +1 = xi - f(xi) Fórmula de Newton-Raphson ( 2.9 )
f´( xi )

Esta ecuación también puede obtenerse mediante la serie de Taylor.

f(x1 +1) +f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”’(xi)h3 + .....fn(xi)hn
2! 3! n!

Truncando la serie de Taylor hasta la primera derivada:

f(x1 +1)= f(xi) +f´(xi) (x1 +1 - xi)

en el que se intersecta con el eje x, f(x1 +1) = 0

0 = f(xi) +f´(xi) (x1 +1 - xi)

Xi +1 = xi - f(xi) que es la ec. ( 2.9 )f´( xi )

Ejemplo 2.4

Encuentre la raíz de tgx-x = 0, en  x 1.5  ,  = 0.01%

Solución:

3.1416  x 4.71

f(x) = tan x – 0.1 = 0
f´(x) = sec2 – 0.1
f´(x) = 1 - 0.1cos2 x

x0 = 3.5
x1 = X0 - f(x0)
f´( x0 )

Sustituyendo:

3.5 – tan 3.5 – 0.1 (3.5)
1 - 0.1
cos2 3.5

x1 = 3.476422 = 3.468356Ea = 3.476422 – 3.5 x 100 % = 0.678226
3.476422

x2 = x1 – f(x1)
f´( x1 )

Sustituyendo:

3.476422 – tan 3.476422 – 0.1 (3.476422)
1 - 0.1
cos23.476422

x2 = 3.476140

Ea = 3.476140 – 3.476422 x 100 % = 0.008%
3.476140

Ea  

0.008 %  0.01 %

x = 3.476140

La siguiente fórmula atribuida a Francis se aplicaa un vertedor con concentraciones:

Q = 3.33 ( B –0.2 +1) (H3)1/2

Donde:

Q = cantidad de agua que pasa por el vertedor (pie3/s)
B = ancho del vertedor en pies
H = carga sobre la cresta...