Metodología ARIMA



1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS DE SERIES DE TIEMPO

1.1 Definición (Proceso estocástico de series de tiempo)
Un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias indexadas en el tiempo.

1.2 Definición (Series de tiempo)
Una serie de tiempo es una realización de un proceso estocástico de series de tiempo.


Se dice que un proceso es estrictamente estacionario, si este cumple la siguientecondición:



Es decir, si la distribución de probabilidad conjunta del proceso no cambia después de períodos, el proceso es estrictamente estacionario. En la práctica es difícil contar con la propiedad de estacionariedad estricta, por esta razón se recurre a un sentido más débil de estacionariedad. Se dice que un proceso es débilmenteestacionario si la media y la varianza son constantes en el tiempo, y además la autocovarianza entre y depende únicamente de la diferencia de tiempo .

Sin embargo cuando se asume normalidad en la distribución del proceso estocástico de series de tiempo, la estacionariedad débil y la estricta son equivalentes. Por ésta razón se asumirá normalidad, y en caso de que ello no se cumpla se realizarán lastransformaciones necesarias para alcanzarla.

1.3 Función de Autocorrelación de un proceso estocástico de series de tiempo
Se define la función de autocovarianza entre y como:


Y la función de autocorrelación como:



Al conjunto de parejas se le conoce como función de autocorrelación . Una posible función de autocorrelación se observaen la gráfica 1.


Gráfica 1. Posible Función de Autocorrelación
Fuente: Elaboración propia
1.4 Función de Autocorrelación Parcial
La correlación entre y está contaminada por la influencia lineal de los valores intermedios. A la correlación que tiene en cuenta tal influencia de le conoce como función de autocorrelación parcial . Y se define como:1.5 Estimación de la media y la varianza de un proceso estocástico de series de tiempo
Para una serie de tiempo dada, se define:

Tabla 1. Estimadores de media y varianza
Fuente: Elaboración propia

Estimador de la media poblacional

Estimador de la varianza poblacional

Para que la media muestral sea un estimador consistente de la media poblacional, se requiere que . A éstapropiedad se le conoce como propiedad de ergodicidad del proceso estocástico de series de tiempo. Ella indica que la correlación entre y disminuye cuando crece, es decir, cuando dos valores se alejan en el tiempo.
1.6 Estimación de la Función de Autocorrelación
El estimador de se define como:



Por lo tanto, el estimador de se define como:



Al conjunto de parejas se le conoce como función deautocorrelación muestral .
1.7 Estimación de la Función de Autocorrelación Parcial
Para estimar se define el siguiente modelo de regresión:



Dado que



se dice que es el incremento en cuando aumenta una unidad, y todo lo demás (los valores intermedios) permanece constante, por ésta razón, es la correlación parcial entre y . Al conjunto de parejasse le conoce como función de autocorrelación parcial muestral .

Se puede probar que:

)

Y por el teorema de Slotsky, bajo ,



es , donde .

Con una confiabilidad del 95% el intervalo de confianza cero es:



Por lo tanto en la prueba , se rechaza si cae fuera del intervalo deconfianza cero.

1.8 Operador lineal de rezago
Se define como:




1.9 Procesos estocásticos de series de tiempo
1.9.1 Proceso autorregresivo de orden ,
1.9.1.1 Proceso autorregresivo de primer orden,

,

La media y varianza del proceso se...