Metodos 20de 20integracion

Métodos de integración
Integración por partes
De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la derivación por partes.
(𝑢𝑢. 𝑣𝑣)′ = 𝑢𝑢′ · 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢 · 𝑣𝑣′ que se puede escribir𝑑𝑑(𝑢𝑢. 𝑣𝑣) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 · 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢 · 𝑑𝑑𝑑𝑑

Tomando integrales en los dos miembros de la igualdad tendremos:

� 𝑑𝑑(𝑢𝑢. 𝑣𝑣) = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 · 𝑣𝑣 + � 𝑢𝑢 · 𝑑𝑑𝑑𝑑

Teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una función es lamisma función y utilizando la notación
de integral tendremos:

𝑢𝑢 · 𝑣𝑣 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 · 𝑣𝑣 + � 𝑢𝑢 · 𝑑𝑑𝑑𝑑

Despejando llegamos a la fórmula de integración por partes

� 𝑢𝑢 · 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢 · 𝑣𝑣 − � 𝑣𝑣 · 𝑑𝑑𝑑𝑑

quepermite calcular la integral de un producto de dos funciones

Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de
reiterar el método, elegimos losmismos tipos de funciones en cada paso.
Teniendo en cuenta que dv = v’ y que du = u’

La fórmula también se puede escribir:

Ejemplos

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lotomamos como u y se repite el
proceso n veces.

1

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando:
v' = 1.

Si al integrar por partes aparece en el segundomiembro la integral que hay que calcular, se
resuelve como una ecuación.

2

Integrales racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del
denominador, si nofuera así se dividiría (recordar que D=d·c+r , luego dividiendo todo por d resulta
𝐷𝐷
𝑑𝑑

𝑟𝑟

= 𝑐𝑐 + )
𝑑𝑑

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos eldenominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales
racionales:
1º Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción

𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑄𝑄(𝑥𝑥)

puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma e identificando
coeficientes o dando valores a x.

3

Ejemplo

Descomponemos en...