Metodos De Aproximaciones Sucesivas

Método de las aproximaciones sucesivas
Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, x=g(x), definida en la forma g(x)=f(x)+x. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva aproximación x1=g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión devalores , que si converge, tendrá como límite la solución del problema.
 
 
  
Figure: Interpretación geométrica del método de las aproximaciones sucesivas.
[scale=0.9]eps/as-1
  
En la figura (4) se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x0 y calculamos y = g(x0). La intersección de esta solución con la recta y=x nos dará un nuevo valor x1 más próximo ala solución final.
Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el método sólo podrá converger si la derivada g'(x) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por y=x). Un ejemplo de este caso se muestra en la figura (5). Esta condición, que a priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente.Para ello basta elegir la función g(x) del siguiente modo:

de forma que tomando un valor de  adecuado, siempre podemos hacer que g(x) cumpla la condición de la derivada.
 
 
   
Figure: Demostración gráfica de que el método de las aproximaciones sucesivas diverge si la derivada g'(x) > 1.
[scale=0.9]eps/as-2
  
















El método de las aproximaciones sucesivas es uno de losprocedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

donde f(x) es una función continua que se desea determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente

Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x1.

Poniendo x1 como argumento de x), obtendremos un nuevo número x2, y asísucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.
(1)
Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución  es


El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura. Se dibuja la curva y=(x), y la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa  del punto de intersección es la raíz buscada.
Un ejemplo típico es la de encontrar laraíz de la ecuación

Para encontrar la raíz, se comienza en el punto cualquiera de abscisa x0 dentro del intervalo (0, /2), y se traza la línea vertical hasta que interseca la curva, luego, desde este punto, se traza una línea horizontal hasta que se alcanza la recta bisectriz, este punto tendrá por abscisa x1. Se traza de nuevo, una línea vertical hasta encontrar a la curva, y otra líneahorizontal hasta encontrar la línea recta, el punto de intersección tiene de abscisa x2 , y así sucesivamente. Como podemos apreciar en la figura, la sucesión x1, x2, x3... tiende hacia la raíz  de la ecuación buscada.
Tal como nos sugiere la representación gráfica de la función en la figura, la raíz buscada está en el intervalo 0 a . Tomamos una aproximación inicial a la raíz x0, en dichointervalo y aplicamos la fórmula (1), su codificación no presenta grandes dificultades.
double x=0.5;
while(true){
x=Math.cos(x);
}
 
La condición de finalización
Primero, introducimos el valor inicial x, la primera aproximación, calculamos el valor del coseno de x, el valor devuelto (segunda aproximación), lo guardamos de nuevo en la variable x, y repetimos el procesoindefinidamente. El código aunque correcto, necesita terminarse en algún momento, cumpliendo una determinada condición. Cuando el valor absoluto del cociente entre la diferencia de dos términos consecutivos de la sucesión y uno de los términos, sea menor que cierta cantidad 

Este criterio, no es completamente riguroso, pero es un buen punto de partida para el estudio de este método....