M todo de aproximaciones sucesivas

MÉTODO DE APROXIMACIONES
SUCESIVAS
S E R I E D E TAY L O R

DEFINICIÓN
• El método de aproximaciones sucesivas se basa
en la premisa de predecir el valor de una función
en un punto determinado conel valor de la
derivada de esa función en otro punto.
• La aproximación de orden cero de ese punto se
establece como el valor del punto anterior, lo cual
tiene sentido si la proximidad entre los dospuntos es suficiente para que estos valores sean
similares.
• Para obtener mayor aproximación se van
añadiendo nuevos elementos con derivadas de
orden superior.

APROXIMACIONES DE UN POLINOMIOMEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR
Serie de Taylor
4
2
- 0.1
0.5x
ff (( xx) ):==
- x04.-1x(0.15x
- )03 .-15
x23 --0.25x
0.5+x1.2
- 0.25 x + 1.2

500
1.0

f ( x)

 

0

Orden cero

Segun
do

Ve
rd
ad
e

- 0.5500
- 110
0.0

- 1.510

 

Primer orden

3

ro

2 

4

6
x

h

 8

 
 

orden +

 

3

0

+

10

PRIMERA APROXIMACIÓN
• Para

n =1

,xi

=0 ,

es1 decir
xi +1, =

•

f ( xi +1 ) 1.2 y

•

f ( x)=0que
.2 es el valor verdadero

h =1

• Usando sólo este elemento de la serie nos da el
error por truncamiento:

Et =0.2 - 1.2 =- 1

SEGUNDA APROXIMACIÓN
• Para
n =0 , se debe determinar y evaluar laprimera derivada de x =0
•

f ' (0) =- 0.4(0) 3 - 0.45(0) 2 - 1(0) - 0.25

•

f ( xi +1 ) 1.2 - 0.25h

•

f (1) =0.95
Et =0.2 - 0.95 =- 0.75

TERCERA APROXIMACIÓN
• Para
n =2 , se debe determinar yevaluar la
segunda derivada de x =0
•

f ' ' (0) =- 1.2(0) 2 - 0.9(0) - 1.0

•

f ( xi +1 ) 1.2 - 0.25h - 0.5h 2

•

Sustituyendo h=1

f (1) =0.45

Et =0.2 - 0.45 =- 0.25

CUARTA APROXIMACIÓN
•  Alincluir la tercera y la cuarta derivada de la
ecuación se obtiene la misma ecuación que al
principio.
• Donde el término residual
• Ya que la quinta derivada de cuarto orden es cero.

POR LO TANTOLA EXPANSIÓN DE LA SERIE
DE TAYLOR HASTA LA CUARTA DERIVADA
• Da una estimación exacta para

xi +1 =1
f (1) =1.2 - 0.251 - 0.51 - 0.151 - 0.11
2

3

4

f (1) =0.2
• Observe que la ecuación...