metodos de solucion de ecuaciones diferenciales

CAP´
ITULO 2

VARIABLES SEPARABLES

dy
g(x)
=
es separable
dx
h(y)

ept

Definici´n 2.1. Se dice que una E.D. de la forma:
o

o. d

2.1.

eM

atem
atic

as

´
´
METODOS DE SOLUCION

uia

,D

o de variables separables.

La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integrano

ntio
q

do:

g(x) dx + C,

eA

h(y) dy =

rsid
ad
dobteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones.
e
ı
e

Ejemplo 1.
Soluci´n:
o

dy
dx

= e3x+2y

Un

ive

Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de
a
otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes
u
o exponenciales de constantes o si aparece la suma de varias constantes reunirlas en una sola constante.dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx
7

´
´
CAP´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION

8

separando variables
dy
= e3x dx
2y
e
e integrando
1
e3x
− e−2y + C =
2
3

atem
atic

as

la soluci´n general es
o
e3x e−2y
+
=C
3
2
dy
dx

1

= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1

eM

Ejemplo 2.

o. d

Soluci´n: separando variables
o

1 du
√
2 u

haciendo

uia

=

,D1 d(1 + x2 )
√
2 1 + x2

ntio
q

=

ept

2x
y −3 dy = √
dx
2 1 + x2

rsid
ad
d

eA

obtenemos

1

−

√
1
= 1 + x2 + C.
2y 2

Un

soluci´n general
o

ive

1 (1 + x2 ) 2
y −2
=
+C
e integrando
1
−2
2
2

Cuando x = 0, y = 1
−

√
1
= 1 + 02 + C
2×1

u = 1 + x2
du = 2xdx

2.1. VARIABLES SEPARABLES

9

luego C = −3
2
La soluci´nparticular es
o
−1 √
3
= 1 + x2 −
2
2y
2
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables:
e
o

as

Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0
(Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))

atem
atic

Ejercicio 2. y ′ + y 2 sen x = 0
(Rta. y = − cos 1 )
x+c

π
2

=e

o. d

Ejercicio 4. y ′ sen x = y ln y, si y
(Rta. ln y = csc x − cot x)

ept

xy + 3x− y − 3
dy
=
dx
xy − 2x + 4y − 8
y+3
( x+4 )5 = Cey−x )

uia

,D

Ejercicio 5.
(Rta.

eM

Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
(Rta. (2 − ex )3 = C tan y)

ntio
q

Ejercicio 6. x2 y ′ = y − xy, si y(−1) = −1
1
(Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)

rsid
ad
d

eA

dy
Ejercicio 7. Hallar la soluci´n general de la E.D. dx − y 2 = −9 y luego
o
hallar encada caso una soluci´n particular que pase por:
o
1
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1
y−3
1
(Rta. a) y+3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 2 e−2 e6x )
y+3

Un

ive

Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n
o
de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias
o
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) esla cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en
funci´n de c(0); ¿cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es
o
a
o
′
decir, cuando c (t) = 0√
?
√ √
√
√
µ+ kc(t)
µ+ kc(0) 2 kµt
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e
; concentraci´n de equilibrio c = µ )
o
k

´
´
CAP´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION

10

dy
dy
Ejercicio 9. Resolver porvariables separables: a x dx + 2y = xy dx
y = a y x = 2a.
3 y
(Rta.: yx2 = 4a e a )
e

2.2.

en

´
ECUACIONES HOMOGENEAS

as

Definici´n 2.2. f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que
o
e
n
para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y).

atem
atic

Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos.
e

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

eM

Definici´n2.3. Si una ecuaci´n en la forma diferencial :
o
o

,D

ept

o. d

tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), entonces decimos que es de coeficientes homog´neos o que es una E.D. hoe
mog´nea.
e

ntio
q

uia

Siempre que se tenga una E.D. homog´nea podr´ ser reducida por medio
e
a
de una sustituci´n adecuada a una ecuaci´n en variables...