metodos iterativos en sistemas de potencia

INTRODUCCIÓN
Un método iterativo trata de resolver un problema matemático (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa dela matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.
PUNTOS FIJOS ATRACTIVOS
Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x) = x, y una solución x es un punto fijo atractivo de la función f, entoncespuede empezar con un punto x1 en la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn) para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥ 1 convergerá a la solución x.

SISTEMAS LINEALES
En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los más generales métodos delsubespacio de Krylov

MÉTODOS ITERATIVOS ESTACIONARIOS
Losmétodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que se aproxima al original; y basándose en la medida de error (el residuo), desde unaecuación de corrección para la que se repite este proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.

MÉTODOS DELSUBESPACIO DE KRYLOV
Los métodos del subespacio de Krylov forman una base ortogonal de la secuencia de potencias de la matriz por el residuo inicial (la secuencia de Krylov). Las aproximaciones a la solución se forman minimizando el residuo en el subespacio formado. El método prototípico de esta clase es el método de gradiente conjugado. Otros métodos son el método del residuo mínimo generalizado yel método del gradiente biconjugado.

CONVERGENCIA
Dado que estos métodos forman una base, el método converge en N iteraciones, donde N es el tamaño del sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no se sostiene; además, en la práctica N puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos métodos esdifícil, dependiendo de lo complicada que sea la función del espectro del operador.

PRECONDICIONANTES
El operador aproximativo que aparece en los métodos iterativos estacionarios puede incorporarse también en los métodos del subespacio de Krylov, donde se pasan de ser transformaciones del operador original a un operador mejor condicionado. La construcción de precondicionadores es un área deinvestigación muy extensa.

1. MÉTODO ITERATIVO
El proceso iterativo se resuelve usando el método del gradiente, a partir de los valores iniciales de P i (k) siguientes:

Sustituyendo

Se expande el lado izquierdo en serie de Taylor alrededor del punto l(k):

Donde:

y así:


El proceso continua hasta que P(k) sea menor que la tolerancia especificada.
Si se emplea una formulasimplificada de pérdidas, Boi = 0, Boo = 0 y la expresión de Pi se reduce a:

Y así también


2. MÉTODO DE ITERACIÓN LAMBDA
A continuación se muestran los pasos a seguir para desarrollar el método de solución de iteración Lambda con límites de potencia, despreciando pérdidas en transmisión:
Paso 1. Para cada iteración k , λ se aproxima por k λ
Paso 2. El nivel de producción de cada generadorse calcula según las condiciones necesarias, es decir:

Paso 3. Con los Pi encontrados calcular:

Paso 4.Se repite pasos 1-3 hasta que se cumpla la condición de equilibrio de potencia para una tolerancia especificada, sino se cumple esta condición ajustar λ de la siguiente manera:

donde α es un escalar que guía a λ a converger, usualmente es un valor pequeño para que los Δλ sean...