METODOS NEWTON RAPHSON

Método de Newton- Raphson.
Maria Alejandra Pardo Contreras
Universidad Tecnológica de Bolívar
Cartagena de Indias, Colombia
maripardo06@hotmail.com




Abstract- En el siguiente trabajo se identifican y describen las características principales del método de Newton- Raphson para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real de manera eficaz. Asimismo, se analizan ciertassituaciones, en las cuales la aplicación de este método no resulta conveniente dado a que se exhibe una convergencia lenta. Y por último, se establecen nuevas soluciones haciendo uso de las raíces múltiples.


I. INTRODUCCIÓN.

En este trabajo se analizará uno de los métodos abiertos más eficaces y rápidos, el método de Newton-Raphson y cómo en algunas situaciones presenta una convergenciacuadrática muy lenta y se buscaran soluciones a esas situaciones.
Los métodos abiertos, se basan en fórmulas que requieren únicamente un valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz.
Por otra parte,  El método de Newton-Raphson es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usadopara encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.







II. MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON.

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar laiteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto).
La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valorpuesto cercano a la raíz. 
El método de Newton-Raphson es uno de los métodos numéricos más conocidos y poderos para la resolución del problema de búsqueda de raíces f(x)=0. Hay por lo menos, tres maneras usuales de introducir el método de Newton. La más común es considerada la técnica gráficamente. Otra posibilidad es la de derivar el método de Newton como una técnica simple para obtener unaconvergencia más rápida de la que ofrecen muchos otros tipos de iteración funcional. La tercera manera de introducir el método de Newton es el enfoque intuitivo basado en el polinomio de Taylor (derivando geométricamente) como en la figura 1. La primera derivada en x es equivalente a la pendiente.


Que se puede reorganizar para obtener;




A la que se conoce como la fórmula de Newton- Raphson.

Estemétodo asume que la función f(x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a, b]. Entonces f(x) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto en [a, b]. La tangente en (x0, f(x0)) es una aproximación a la curva de f(x) cerca del punto (x0, f(x0)). En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f(x).


Figura 1: grafico del método deNewton-Raphson.


Situaciones en la que el método de Newton presenta convergencia cuadrática lenta.

El método de Newton es muy rápido y eficiente ya que la convergencia es de tipo cuadrático (el número de cifras significativas se duplica en cada iteración).
Sin embargo, la convergencia depende en gran medida de la forma que adopta la función en las proximidades del punto de iteración. Por lo que en variassituaciones, este método no es capaz de alcanzar la convergencia o bien converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación.
Aún cuando se trata de raíces simples, se encuentran dificultades, como en el siguiente ejemplo;


Determine la raíz positiva de la , usando el método de Newton-Raphson.





Tomamos como valor inicial x=0,5 y vemos que el método converge a la raíz 1, pero con...