Micro

FRECUENCIA COMPLEJA

Las funciones senoidales, exponenciales, senoidales amortiguadas y de voltaje de corriente directa pueden escribirse de la forma:

Donde K y s son constantes complejas y está caracterizada por la frecuencia compleja s, que es el factor que multiplica a t en esta representación exponencial compleja.
Aplicando esta definición a una función de excitación de voltajeconstante V(t)=Vo, se puede escribir de la forma:

(La frecuencia compleja s de una corriente o voltaje de corriente directa es 0) 

Para la función exponencial la frecuencia compleja de un voltaje es  por lo tanto:

De igual forma para un voltaje senoidal:

Usando la identidad de Euler:

Así obtenemos:

Observamos en esta última ecuación que hay dos frecuencias complejas, una para cadatérmino; donde  (son conjugados al igual que los valores de K:

Para la función senoidal exponencialmente amortiguada:

y escrito de forma simplificada:

Donde.

La amplitud y el ángulo de fase del voltaje senoidal dependen del valor de K para cada una de las dos frecuencias.
Se acostumbra denotar por a la parte real de s, y por  (no j ) a la parte imaginaria; luego:

Donde: 

es lafrecuencia de amortiguamiento (se mide en Nepers/s).
Es la frecuencia angular (se mide en rad/s).
s se mide en Nepers/s o rad/s.

EJEMPLO:

Encuentre i(t) sí:

a) 
b) 

SOLUCIÓN: 

a) La forma de la ecuación es:

Como:

Por lo tanto:

b) Para este caso:

Por lo tanto:

FUNCION DE EXCITACIÓN SENOIDAL AMORTIGUADA

La senoidal general con variación exponencial  puede expresarseen términos de la frecuencia compleja s como:

Factorizando y sustituyendo:

Que es muy similar con la representación de la senoidal no amortiguada:

Aplicando la senoidal exponencialmente amortiguada a una red eléctrica podemos buscar la respuesta forzada de una corriente en alguna rama de la red; podemos suponer que la respuesta es:

 
Donde la frecuencia compleja de la fuente y larespuesta deben ser iguales.

Obtendremos una respuesta completa cuya parte real es la respuesta real buscada y trabajaremos omitiendo la notación Re, pero está se reinsertará siempre que se quiera obtener la respuesta en el dominio del tiempo.
La solución final de este tipo de problemas consiste en encontrar la amplitud de la respuesta Im y el ángulo de fase  de la corriente.

Los pasos aseguir básicos del método de solución son:

* Caracterizar el circuito por medio de un conjunto de ecuaciones integro diferenciales de lazo o de nodo.
* Sustituir las funciones de excitación dadas y las respuestas forzadas supuestas en forma compleja en las ecuaciones.
* Realizar las integrales y derivadas indicadas.
* En todas las ecuaciones cada termino tendrá el factor, se dividetodo entre este factor para tenerlo en el dominio de la frecuencia.
* Una vez realizados los anteriores pasos, las ecuaciones integro diferenciales se transforman en algebraicas y se solucionan muy fácilmente.

Z(s) y Y(s)

Para aplicar las leyes de Kirchhoff directamente a funciones de excitación y respuestas forzadas complejas, necesitamos expresar la impedancia o admitancia delelemento.

Estudiaremos el inductor y luego resumiremos para todos los elementos.

Supongamos que aplicamos un voltaje; la respuesta de corriente debe ser de la forma:

Sustituyendo para un inductor:

La razón del voltaje con el voltaje es la impedancia Z y por tanto:

y su admitancia será:

LA RESPUESTA EN FRECUENCIA COMO FUNCION DE 

El análisis del problema de la respuesta en frecuenciacomo función de  es muy útil en el estudio de circuitos RL y RC.

Tomemos como ejemplo el circuito RL en serie de la figura:

Este circuito posee una fuente de voltaje, la corriente sería:

Si ; restringiendo el análisis a fuentes en el dominio del tiempo de la forma  y por ello: 

En el dominio del tiempo:

Graficando  en función de:
 

Observamos que cuando  es un número grande,...